12.3角平分线的性质
1、在准备好的角上标好字母；A,O,B, 。把角AOB对折，使得这个角的两边重合。
2、在折痕（即平分线）上任意找一点P。作PD垂直与OA，垂足为D。
3、过点P作OB边的垂线PE，垂足为E。
问：点D与点E重合吗？由此你可得到什么结论？
按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PD、PE ，并度量所画PD、PE是否等长？
议一议：由此你可得到什么猜想？
同学甲、乙谁的画法是正确的?
议一议：由做一做和画一画你可得到什么猜想？
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
而△OPD≌△OPE的条件由已知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPE，
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
PD=PE
OC平分∠AOB，PD⊥OA, PE⊥OB, D、E为垂足．
于是我们得角的平分线的性质： 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
议 一 议
根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
点P在∠AOB的平分线上
这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
请同学们自己写出证明过程
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
想一想，点P在∠A 的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
畅 谈 收 获
小结:
，
B
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直
思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD
再见