12.3角平分线的性质（一）
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角
C
平分线。
C
∠AOC =∠BOC
∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
角平分线
在△ADC和 △ABC中，
AD= AB
AC=AC
DC=BC
∴△ADC ≌ △ABC
（SSS）
∴ ∠DAE=∠DAE
=
=
尺规作图
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
角平分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________
C
O
B
A
PD=PE
角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
结论：
C
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E
求证: PD=PE
P
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD和△PEO中
∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP
∴ PD＝PE
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
几何语言:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
4
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？
例题讲解
E
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
E
F
G
M
N
例题讲解
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。
例题讲解
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。
2
练习
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
练习
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
A
B
C
D
E
练习
B
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｐ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
P
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD
再见