问题情境
有一空旷场地，据测定它位于一条铁路和一条公路所成角的平分线上，政府决定利用它建一个批发市场．那么这个市场离铁路更近还是离公路更近？
公路
铁路
12.3角的平分线的性质（第1课时）
复习提问
1．角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线．
2．点到直线距离:
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离．

如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，
BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿
着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE
就是角平分线．你能说明它的道理吗？
A
D
C
B
E
实践操作
如何用尺规作角的平分线？
A
Ｂ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ．
３．画射线OC．
射线ＯＣ即为所求．

A
Ｂ
为什么OC是角平分线呢？

Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC．
求证：OC平分∠AOB．
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
探索证明
猜想：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
已知：∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E．
求证：PD=PE．
1．判断：
如图，已知AD平分∠BAC，则有BD=CD ．
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
（×）
灵活运用
2、判断：
如图，已知 DC⊥AC，DB⊥AB ，则
有BD=CD．
（×）
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,若PD=4cm,则PE=______cm.
4
4、如图，△ＡＢＣ的∠AＢC的外角的平分线ＢＤ与∠AＣB的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
F
G
H
Ｂ
Ｐ
证明：过点P作PH ⊥ AC，PF ⊥ BC，PG ⊥ AB，
垂足分别为H，F，G．
∵点P是在∠AＢC的外角的平分线上，
∴PG=PF．
∵点P在∠AＣB的外角的平分线上，
∴PF=PH．
∴PG=PF=PH．
5、已知△ABC中, ∠C=90°，AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
拓展提高
解：过点D作DE⊥AB于E， ∵BC＝8,BD＝5， ∴CD＝BC-BD＝3， ∵AD平分∠CAB，∠C=90°， ∴DE＝CD＝3（角平分线性质）, ∴点D的AB的距离为3．
变式练习
如图在△ABC中， ∠C=90° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的长．
解：∵ AD为∠BAC的平分线，
∠C=90° ， DE⊥AB，  ∴DC＝DE＝3， ∵BC=7， ∴BD＝BC-DC＝7-3=4．
6、在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
证明：∵OE平分∠AOB,EC ⊥ OA，ED ⊥ OB，
∴EC=ED．
在Rt△AEC和 Rt△BED中
EC=ED,
EA=EB（已知）,
∴ Rt△AEC ≌Rt△BED(HL）,
∴AC=BD．
变式练习
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF .
求证：CF=EB .
证明：∵AD是∠BAC的平分线, ∠C=90°，DE⊥ AB于E，
∴ED=CD．
在Rt△BED和 Rt△FCD中
ED=CD,
BD=DF（已知）,
∴ Rt△BED ≌Rt△FCD(HL）,
∴CF=EB．
小结反思
这节课我们学习了哪些知识？
点P在OC上
作业设计
教材51页习题12.3第4题、第5题．
谢谢指导！