22.2 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系

要点感知 抛物线y=ax2+bx+c在x轴上的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的关系：(1)如果抛物线与x轴___交点，那么一元二次方程___实数根；(2)如果抛物线与x轴只有___个交点，此时的交点就是抛物线的顶点，那么一元二次方程有两个___的实数根；(3)如果抛物线与x轴有___个交点，那么一元二次方程有两个___的实数根，此时，抛物线与x轴两个交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程的两个实数根.
预习练习1-1 抛物线y=3x2+5x与两坐标轴交点的个数为___个.
1-2 下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点( )
A.y=
(x-23)2+155 B.y=
(x+23)2+155 C.y=-
(x-23)2-155 D.y=-
(x+23)2+155

知识点1 二次函数与一元二次方程
1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1，x2=-1 B.x1=1，x2=2 C.x1=1，x2=0 D.x1=1，x2=3
3.(柳州中考)小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )


A.无解 B.x=1 C.x=-4 D.x=-1或x=4
4.抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为___
知识点2 利用二次函数求一元二次方程的近似解
5.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( )


A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26
6.用图象法求一元二次方程2x2-4x-1=0的近似解.



解：
知识点3 二次函数与不等式
7.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是( )


A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2

8.(黔东南中考)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2 014的值为( )
A.2 012 B.2 013 C.2 014 D.2 015
9.(牡丹江中考)抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是( )


A.x＜2 B.x＞-3 C.-3＜x＜1 D.x＜-3或x＞1
10.(锦州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，ax2+bx+c=m有实数根的条件是( )
A.m≤-2 B.m≥-2 C.m≥0 D.m＞4


11.(济南中考)二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( )


A.t≥-1 B.-1≤t＜3 C.-1≤t＜8 D.3＜t＜8
12.(济宁中考)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m A.m13.抛物线y=2(x+3)(x-2)与x轴的交点坐标分别为___.
14.(南京中考)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
挑战自我
15.(孝感中考)已知关于x的方程x2-(2k-3)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1<0，x2<0；
(3)若抛物线y=x2-(2k-3)x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA·OB-3，求k的值.

参考答案

要点感知 (1)无，没有；(2)一，相等；(3)两，不相等
预习练习1-1 2.
1-2 D

1.A 2.B 3.D 4.8. 5.C
6.


设y=2x2-4x-1.
画出抛物线y=2x2-4x-1的图象，如图所示.
由图象知，当x≈2.2或x≈-0.2时，y=0.
即方程2x2-4x-1=0的近似解为x1≈2.2，x2≈-0.2.
7.C

8.D 9.C 10.B 11.C 12.A 13.(-3，0)，(2，0).
14.(1)∵(-2m)2-4(m2+3)=-12＜0，
∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3，
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)2的图象，它的顶点坐标是(m，0)，
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
挑战自我
15.(1)由题意可知：
Δ=［-(2k-3)］2-4(k2+1)>0，
即-12k+5>0，∴k<
.
(2)∵k<
，∴x1+x2=2k-3<0,
x1·x2=k2+1>0.
∴x1<0，x2<0.
(3)依题意，不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，
∵x1<0，x2<0，
∴OA+OB=(-x1)·(-x2)=x1x2=k2+1.
∵OA+OB=2OA·OB-3，
∴-(2k-3)=2(k2+1)-3.
解得k1=1，k2=-2.
∵k<
，∴k=-2.
第2课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数的关系

要点感知 抛物线y=ax2+bx+c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：
(1)当a>0时，开口____，当a<0时，开口____；
(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b____，若对称轴在y轴的右边，则a，b____；
(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c____0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c____0，若抛物线经过原点，则c____0;
(4)当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c；当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c；当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c；当x=-2时，y=ax2+bx+c=4a-2b+c；…;
(5)当对称轴x=1时，x=-
=1，所以-b=2a，此时2a+b=0；当对称轴x=-1时，x=-
=-1，所以b=2a，此时2a-b=0；判断2a+b大于或者等于0，看对称轴与1的大小关系；判断2a-b大于或者等于0，看对称轴与-1的大小关系;
(6)b2-4ac>0二次函数与横轴有两个交点；b2-4ac=0二次函数与横轴有一个交点；b2-4ac<0二次函数与横轴无交点.
预习练习 (滨州中考)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(-1，0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a-2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞2.其中正确的个数是( )


A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

知识点1 二次函数与字母系数的关系
1.(龙岩中考)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项正确的是( )


A.a>0 B.c>0 C.ac>0 D.bc<0

2.(兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是( )


A.abc＜0 B.2a+b=0 C.b2-4ac＞0 D.a-b+c＞0
3.(陕西中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )


A.c>-1 B.b>0 C.2a+b≠0 D.9a+c>3b

4.(达州中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( )


A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④
知识点2 函数图象的综合
5.(泰安中考)在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是( )


6.(遵义中考)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( )



7.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A.k>-
B.k>-
且k≠0 C.k≥-
D.k≥-
且k≠0
8.(黔东南中考)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc<0；②b0；④b2-4ac>0.其中正确的结论有( )


A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.(齐齐哈尔中考)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=
，且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(
，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( )


A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
10.(烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称轴为直线x=2.下列结论：
①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


11.(扬州中考)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为____.
12.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A,B，点A的坐标是(1，0).
(1)求c的值;
(2)求a的取值范围.

挑战自我
13.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0)，B(3,2).
(1)求m的值和抛物线的解析式；




(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集(直接写出答案)；
(3)若M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在抛物线y=x2+bx+c上，试比较y1与y2的大小.
参考答案

要点感知 (1)向上，向下；
(2)同号，异号；
(3)>，<，=;
预习练习 B

1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.D

7.D 8.B 9.A 10.B 11.0.
12.(1)c=1.
(2)由图象过C(0，1)，A(1，0)得a＋b＋1=0,∴b=-a-1.
由b2-4ac＞0，可得(-a-1)2-4a＞0,即(a-1)2＞0,故a≠1.又a＞0，
∴a的取值范围是a＞0且a≠1.
挑战自我
13.(1)∵直线y=x+m经过点A(1,0)，∴0=1+m.∴m=-1.
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0)，B(3,2)，∴0=1+b+c,
2=9+3b+c.解得b=-3,c=2.
∴抛物线的解析式为y=x2-3x+2.
(2)x>3或x<1.
(3)∵M(a,y1),N(a+1,y2)两点都在函数y=x2-3x+2的图象上，
∴y1=a2-3a+2,
y2=(a+1)2-3(a+1)+2=a2-a.
y2-y1=(a2-a)-(a2-3a+2)=2a-2.
∴当2a-2<0,即a<1时，y1>y2;
当2a-2=0,即a=1时，y1=y2;
当2a-2>0,即a>1时，y1