24.2.1 点和圆的位置关系
百步穿杨
生活中的数学
如果箭看成点，箭靶看成圆，那么上面情境反映了点与圆的位置关系。
.
.
.C
.
.
.
. B
.
.A
.
.
.
点与圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外
点和圆的位置关系有几种呢？
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
p
d
d

P
r
d
读作“等价于”，它表示从符号左端可以得到右端，也可以从右端得到左端。
＜
r
r
=
＞
r
1：⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在 ；当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。
圆上
＜6
≤6
2、画出由所有到已知点O的距离大于或等于2CM并且小于或等于3CM的点组成的图形。
3.已知⊙O的面积为25π：
（1）若PO=5.5，则点P在 ；
（2）若PO=4，则点P在 ；
（3）若PO= ，则点P在圆上；
（4）若点P不在圆外，则PO__________。
圆外
圆内
5
≤5
●A
●A
●B
过一点可作几条直线？过两点呢？三点呢？
过两点有且只有一条直线(直线公理)
经过一点可以作无数条直线；
回忆：
问题:确定一个圆需要多少个点?
探究之路
一个点、两个点还是三个点呢？
过一点画圆
A
我们的结论:
过一点可以画无数个圆
A
B
过两点画圆
过两点可以画无数个圆
●o
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
过三点： (1)、三点不共线
1、经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个。
2、经过在三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形两条边垂直平分线的交点
三角形的外接圆：
●
●B
A●
●C
分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？
锐角三角形的外心位于三角形内．
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点．
钝角三角形的外心位于三角形外．
证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出
一个圆，圆心 为O．
则O应在AB的垂直平分线l1上，
且O在BC的垂直平分线上l2上，
l1⊥ l
l2⊥ l
所以l1、 l2同时垂直于l，点P为l1、 l2 的交点
这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，
所以经过同一直线的三点不能作圆．
反证法
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
经过同一直线的三点不能作出一个圆．
命题：
假设：
经过同一直线的三点能作出一个圆．
矛盾：
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
过一点有两条直线垂直于已知直线．
定理：
例如：
课堂练习
判断题：
1、过三点一定可以作圆 （ ）
5、三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
2、三角形有且只有一个外接圆 （ ）
3、任意一个圆有一个内接三角形，
并且只有一个内接三角形 （ ）
4、三角形的外心就是这个三角形任意两边
垂直平分线的交点 （ ）
如何解决“破镜重圆”的问题：
圆心一定在弦的垂直平分线上
1、点和圆的位置关系有几种？
dd=r
d>r
⑴点在圆内
·
P
⑵点在圆上
⑶点在圆外
(令OP=d )
小结
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是 6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
思考
思考： 如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心．
D
O
∵A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，
又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴圆心在CD所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心.
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明.
不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆；
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；