22.2 二次函数与一元二次方程
二次函数的一般式：
（a≠0）
______是自变量，____是____的函数。
x
y
x
当 y = 0 时，
ax² + bx + c = 0
ax² + bx + c = 0
这是什么方程？
九年级上册中我们学习了“一元二次方程”
一元二次方程与二次函数有什么关系？
【知识与能力】
总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
二次函数与一元二次方程之间的关系。
利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。
一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）当 h = 15 时，
20 t – 5 t 2 = 15
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
1s
3s
15 m
（2）当 h = 20 时，
20 t – 5 t 2 = 20
t 2 － 4 t ＋4 = 0
t 1 = t 2 = 2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2s
20 m
（3）当 h = 20.5 时，
20 t – 5 t 2 = 20.5
t 2 － 4 t ＋4.1 = 0
因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。
球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
（4）当 h = 0 时，
20 t – 5 t 2 = 0
t 2 － 4 t = 0
t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
0s
4s
0 m
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
二次函数与一元二次方程的关系（1）
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
令 y= 0，解一元二次方程的根
（1） y = 2x2＋x－3
解：当 y = 0 时，
2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
x 1 = ，x 2 = 1
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
y =a（x－x1）（x－ x 1）
二次函数的两点式
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时，
4x2 －4x +1 = 0
（2x－1）2 = 0
x 1 = x 2 =
所以与 x 轴有一个交点。
（3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时，
x2 – x+ 1 = 0
所以与 x 轴没有交点。
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数与一元二次方程的关系（2）
有两个根
有一个根（两个相同的根）
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c = 0 的根
y=ax2+bx+c 的图象与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
b2 – 4ac ≥ 0
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
D
C
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
1
1
16
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
b2－4ac < 0
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.
(0，－5)
(5/2，0) (－1，0)
(-2，0) (5/3，0)
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
x
A
1.3
.
9.根据下列表格的对应值:

判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 C
10. 已知抛物线 和直线
相交于点P(3，4m)。
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：（1）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m＝1
所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上，所以有4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2
所以
（2）依题意，得
解这个方程组，得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。
1 2 3
x
y
O
例：利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根（精确到0.1）
(-0.7,0)
(2.7,0)
解：作的 图象（右图），它与x轴的公共点的横坐标大约是 .
所以方程 的实数根为
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。
x=2时，y<0
x=3时，y>0
∴根在2到3之间
1 2 3
x
y
O
2.5
已知x=3,y>0
x=2.5时,y<0
∴根在2.5到3之间
1 2 3
x
y
O
2.5
已知x=2.5时,y<0
x=2.75时,y>0
∴根在2.5到2.75之间
2.75
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625,2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以得到：
根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值，例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值。
小结
作业
P47 习题22.2