情境引入
1. 回顾：列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
2.若一人患流感每轮能传染5
人，则第一轮过后共有_____ 人患了流感，第二轮过后共有______人患了流感.
6
36
基本步骤：找、设、列、解、验、答.
应注意：寻找相等关系，检验方程的解是否符合实际问题.
探究新知
分析：
（1）题目中的已知量和未知量分别是什么？
（2）若设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么
①患流感的这个人在第一轮传染中传染了___人；第一轮传染后，共有
人患了流感.
②在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了
人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有
人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
                          1+x+（1+x）x=121.
              解方程得
                            x1=10  , x2=-12.
因为传染人数不可能为负数，所以x=-12不合题意舍去.
                 所以 x=10.
答：每轮传染中平均一个人传染了10人.
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了 流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
x
x+1
x+1
x
(x+1)x
1+x+（1+x）x
议一议
（1）如果按照这样的传染速度，第三轮传染后有________人患流感.
（2）综上所述，每轮传染后患流感的人数分别为：1、11、
121、1 331.你发现这组数据的规律了吗?第四轮传染后有
__________人患流感．
（3）利用上一规律如何换种方法列方程?
1 331
14 641
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
                          （1+x）2=121.
              解方程得
                            x1=10  , x2=-12.
因为传染人数不可能为负数，所以x=-12不合题意舍去.
                 所以 x=10.
答：每轮传染中平均一个人传染了10人.
巩固练习
1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一
个细菌繁殖了多少个细菌？
2.某种植物的主干长出若干数目的
枝干，每个枝干又长出同样数目的小
分支，主干、枝干和小分支总数是91，
每个枝干长出多少小分支？
解：设每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了x个细菌,依题意
得 x2=256
解得 x1=-16（舍） x2=16
答：每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了16个细菌
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即 x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
主干
枝干
枝干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
应用拓展
1.参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要
比赛90场，共有多少个队参加了比赛？
2.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），
共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？
分析：
（1） 两题中有哪些数量关系？
（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？
为什么？如何列方程？
（3）对比两题，它们有什么联系与区别？
1.解：设共有x个队参加了比赛，则有
x(x-1)=90
解得：x1=-9（舍）， x2=10.
答：共有10个队参加了比赛.
2.解：设共有x个队参加了比赛，则有
x(x-1) ÷2=15
解得：x1=-5（舍）， x2=6.
答：共有6个队参加了比赛.
归纳小结
1.本节课我们学习了哪些知识?

2.在学习过程中掌握了哪些方法？

3.通过本节课的学习，你有什么体会？
作业
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，
全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？
3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅
游的旅客有多少人？
4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短
信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一
个人向多少人发送短信？
5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛），
共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循
环比赛呢？
6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人，
问:3分钟能否完成任务？
7.课堂导练1+5本课对应练习。
21.3实际问题与一元二次方程（二）
增长率问题

两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,
现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为
(5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为
(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
问题
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本
为 5000(1-x)2 元,依题意得
解方程,得
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
比较:两种药品成本的年平均下降率
22.5%
(相同)
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额
较大的药品,它的成本下降率一定也较大
吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为
其中增长取+,降低取－
变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解这个方程，得
答：每次降价的百分率为29.3%.
变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为 元，每次升价的百分率为 ，
根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，
所以 不合题意，舍去
答：每次升价的百分率为9.5%.
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为 .
B
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
1、平均增长（降低）率公式
2、注意：
（1）1与x的位置不要调换
（2）解这类问题列出的方程一般
用直接开平方法
21.3 实际问题与一元二 次方程（三）
面积问题
复习：列方程解应用题有哪些步骤
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。
一、复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？
一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？
长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
探究3
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的
矩形两边之比也为9:7
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm

依题意得
解得
故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
依题意得
解方程得
方程的哪个根合乎实际意义?
为什么?
例1. 学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
应用
解: (1)
方案2：长为16米，宽为4米;
方案3：长=宽=8米;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.
x(16-x)=63+2，
即x2-16x+65=0，
∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
∴此方程无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
练习
2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
解:(1)如图，设道路的宽为x米， 则
化简得，
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
则横向的路面面积为 ，
分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。
解法一、如图，设道路的宽为x米，
32x 米2
纵向的路面面积为 。
20x 米2
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为：
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）
横向路面 ，
如图，设路宽为x米，
32x米2
纵向路面面积为 。
20x米2
草坪矩形的长（横向）为 ，
草坪矩形的宽（纵向） 。
相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
(20-x)米
（32-x)米
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
3.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
解:设道路宽为x米，
则
化简得，
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
4.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
解:设小路宽为x米，
则
化简得，
答:小路的宽为3米.
1.如图（1），宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】
A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图（2）所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
A
B
图（1）
图（2）
补充练习
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】
A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
C
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
图（3）
图（4）
这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次
方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、检、答．
小结