九年级数学上册·R
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
一、学习目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
二、新课引入
列一元二次方程解应用题的步骤？

①审题，
② .
③找等量关系.
④ ，
⑤ ，
⑥答.
设出未知数
列方程
解方程
三、研学教材
知识点一 传染繁殖问题
认真阅读课本第19页的内容，完成练习并体验知识点的形成过程。
探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
三、研学教材
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个，
则第一轮后共有_____人患了流感，
第二轮后共有_______人患了流感。
列方程，得
1 + x + x (x+1) = 121
x2+2x-120=0
解方程，得
x1=10， x2= -12
答:每轮传染中平均一个人传染了10个人。
(1+x)
x(x+1)
三、研学教材
思考
按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?
答：
平均每人传染10人，
第二轮传染的人数是 人，
第三轮传染的人数是 人，
三轮共传染了 人.
11 ×10= 110
121 ×10=1210
1+10+110+1210=1331
三、研学教材
练一练
1、有一人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了x个人，则经过两轮传染后，患流感的总数为400人，可列出方程为：
_____________________

2、某种电脑病毒传播速度非常快.如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后，有81台电脑被感染，问每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
1 + x + x (x+1) = 400
三、研学教材
解：
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则
第一轮后共有(1+x)台电脑感染，
第二轮后共有x(1+x)台电脑感染。
列方程，得
1+x+x(1+x)=81
化简，得 x2+2x-80=0
解方程，得 x1=8， x2=-10（舍去）
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。
三、研学教材
3、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
三、研学教材
解：
设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程，得
1+x+x(1+x)=81
化简，得 x2+2x-80=0
∴每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑。
∵第3轮感染的电脑为81×8=648台
∴3轮感染后共81+648=729台电脑
∴3轮感染后,被感染的电脑会超过700台
四、归纳小结
4、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
解：
设这个小组共x人，根据题意
列方程，得
x(x-1)=72
化简，得 x2-x-72=0
解方程，得 x1=9， x2=-8（舍去）
答：这个小组共9人。
四、归纳小结
5、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？
解：组有x名同学，根据题意，得
x（x-1）=182
解得x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）
答：全组有14名同学.
四、归纳小结
6、某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？
解：初三有x个班，根据题意列方程，得
化简，得 x2-x-12=0
解方程，得 x1=4， x2=-3（舍去）
答：初三有4个班。
四、归纳小结
1、列方程解实际问题的关键是找出题目中的等量关系。
2、列一元二次方程解实际问题的一般步
（1）审 ，
（2）设 _____,
（3）列 ，
（4）解_____
（5）验—检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去.
（6） 。
题
未知数
方程
方程
答
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
一、学习目标
掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.
二、新课引入
某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，
第一年的产量为6万kg，
第二年的产量为 万kg，
第三年的产量为 万kg，
三年总产量为 万kg．
6（1+X）
6（1+X）
2
6 + 6（1+X） + 6（1+X）
2
三、研学教材
认真阅读课本第19页到第20页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
三、研学教材
知识点一
平均增长（降低）率问题
探究2 两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析:甲种药品成本的年平均下降额为

乙种药品成本的年平均下降额为

乙种药品成本的年平均下降额较大.
但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
知识点一
(5000-3000)÷2=1000(元)
(6000-3600)÷2=1200(元)
知识点一
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则
一年后甲种药品成本为 元,
两年后甲种药品成本为 元,
5000（1-X）
5000（1-X）
2
依题意得 ：5000（1-x）=3000
2
解方程,得：
答:甲种药品成本的年平均下降率约22.5%
知识点一
设乙种药品成本的年平均下降率为y,
一年后乙种药品成本为 元，
两年后乙种药品成本为 元
依题意得， ，
解方程得 ，
6000（1-y）
2
6000（1-y）
6000（1-y）=3600
2
答:乙种药品成本的年平均下降率约为 .
y1≈0.225,y1≈-1.775
22.5%
知识点一
思考
为什么选择22.5％作为答案？
比较两种药品成本的年平均下降率.
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?
答：经过计算,甲乙两种药品的平均下降率相同 .成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
练一练
1、某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒.求平均每次降价的百分率？
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
36（1-X）=25
2
解得：
答：平均每次约降价16.7%
练一练
2、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，三月份生产化工原料60万吨，求二、三月份平均增长的百分率？
解：设二、三月份平均增长的百分率为X.
15（1+X） =60
2
解得：
答：二、三月份平均增长的百分率100%
练一练
3、某电脑公司2001年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相，求这个增长率。
分析：设这个增长率为x，
一月份的营业额200万元，
二月份的营业额 万元、
三月份的营业额 万元，
由三月份的总营业额列出等量关系．
200(1+X)
200(1+X)
2
练一练
解：设平均增长率为x,得：
200 + 200(1+X) + 200(1+X) = 950
2
整理，得：
400X + 600X = 350
2
解得：
答:这个增长率是50%。
四、归纳小结
1、若平均增长(或降低)百分率为x,
增长(或降低)前的是a,
增长(或降低)n次后的量是b,
则它们的数量关系可表示为______________
九年级数学上册·R
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
一、学习目标
1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题；
2、利用几种特殊图形的面积公式来解决新课中的问题．
二、新课引入
1、说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式（用字母表示）.
二、新课引入
2、一个直角三角形的两条直角边长的和为7cm， 面积为 6 cm2，求这个直角三角形斜边的长 .
解：设一条直角边为xcm，
则另一条直角边为（7-x）cm，
依题意得
解得：
另一直角边为：
∴其斜边为
三、研学教材
知识点一 几何图形的面积问题
探究3 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边
衬等宽，应如何设计四周边衬的
宽度（精确到0.1cm）？
三、研学教材
解法一：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意得：中央矩形的长为 cm，宽为 cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积

的 ,则中央矩形的面积是封面面积____．
(27-18x)
(21-14x)
三、研学教材
所以可列方程得：
= ×27×21

整理，得 16x2-48x+9=0

解方程，得 x= ，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．
三、研学教材
解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，

列方程得 .


解得 x 2.6

上、下的边衬的宽为（27-9 2.6） 0.5=1.8cm

左、右的边衬的宽为（21-7 2.6） 0.5=1.4cm
三、研学教材
一
1、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为40m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别是多少？
三、研学教材
一
解：设与墙垂直的那边长为 ，
则与墙平行的那边长为 ，
依题意得
解得 .
∴与墙垂直的那边长为15 或5 .
三、研学教材
一
1、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是多少cm2？
解：设原来的正方形铁片的边长是xcm ,以题意可得,
x2-2x=48
解之得
x1=8,x2=-6(不合适题意，舍去）
原来的正方形铁片的面积是：82=64
答：原正方形铁片的面积是64cm2
三、研学教材
一
3、如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.求道路宽多少米？
17米
解：设道路宽 米，依题意得
解得
答：道路宽2米.
四、归纳小结
利用面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．