22.2二次函数与一元二次方程
第二十二章 二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
讲授新课
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
h=20t-5t2
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
h=20t-5t2
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
h=20t-5t2
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
h=20t-5t2
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
知识要点
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系
由前面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
y = x2－2x－2
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 C
1.根据下列表格的对应值:
当堂练习
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
A
能力提升
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）2课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
一元二次方程根的情况
见《学练优》本课时练习
课后作业