人教版初中数学八年级上册第十三章《轴对称》
第四节《课题学习 最短路径问题》 练习题
一、基础练习题
1. 两点之间 最短。
2. 解决路线全程最短要用到画 的方法。
3. 三角形三边中，两边之和 第三边。
4. 三角形三边中，两边之差 第三边。
5. 直角三角形ABC中，BC是斜边，下列说法正确的是（ ）
A 顶点A到BC的距离是BC B 顶点B到AC边的距离是AC
C 顶点C到AB边的距离是BC D 顶点C到AC的距离是AC
6.如图所示，
点A、点B位于直线l同侧，在直线l上找一点H，使得由A到这一点，再到B点的路程最短。请问H点最准确的位置应该在（ ）
A M’的位置 B M’’的位置C M的位置 D M’’’的位置
二、能力提高题
7.等腰三角形顶点到底边的距离是 。
8.一个角的内部找一个点，使得它到角两边的距离相等，那么，这个点在 。
9. 如图示，画出点A到直线的距离，点B到直线的距离。
10. 在上题图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小。
11. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
12. 某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成（如图所示）两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？


三、提高题
13. 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．
　

14. 已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小。

15. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

参考答案：
1.线段；2.轴对称图形；3.大于；4.小于；5.C;6.C;
7.过定点的高，8.角平分线上
9.过A作直线l的垂线段AC,交l于点C,过点B作l的垂线段BD,交l于点D.
10. 解：如图所示：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′交直线l于点M.
(3)则点M即为所求的点．
点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。.
11.
解：(1)如图
取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．
(2)如图
画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P
，则P到A，B的距离和最短．
12. 解：如图
(1)作C点关于OA的 对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短。
13. 提示：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三
边来解决．
解：如图所示，
以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－C
B.
14. 提示：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小。
解：作法如图：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
15. 作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN