第四节 课题学习 最短路径问题
人教版初中数学八年级上册 第十三章《轴对称》
学习目标
1.复习公理：两点之间线段最短．
2.掌握利用轴对称图形的特点构造对称点，解决最短路径问题。
3.经历探索最短路径问题的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。体验解决实际问题的成就感。
趣题引入
历史上有这样一个著名的数学问题，名字叫“将军饮马问题”，一听这个名字，就知道是个很有趣的问题，这是怎样一个问题呢？
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？
B
A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将像海伦一样解决这个问题吗？
巩固复习
要解决“将军饮马问题”需要回顾前几节课的内容，同学们你能帮我想想吗？
1.轴对称图形，两个图形成轴对称；
2.找对称轴和画轴对称图形；
3.等腰三角形的性质和判定。
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
选②
回顾练习
理由：
两点之间,线段最短
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
提示：本题中A、B分别位于线l的两侧，要是在同侧，该怎么办呢？
探究活动一
要解决“将军饮马问题”首先，我们将实际问题转化为数学问题。
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短呢？

你能将这个问题抽象为数学问题吗？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．（提示：还缺少问题怎么办？）
问题转化提示
从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就可以转化为？

结论：转化为当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
如果A、B在l的两侧，直接连起来就可以了，现在是同侧，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
导学置疑：点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
提示：利用画轴对称图形的方法。
探究活动二
你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B′；
提示：现在变成了两侧，是不是容易了？

连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求点．
结 论
这样做有科学依据吗，你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
探究活动三
演示证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴　AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
小组合作展示
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴　AC +BC＜AC′+BC′．
　　即　AC +BC 最短．
巩固练习
刚才我们选的是B点的对应点，如果选A点，结果会不会不一样呢？同学们动手在原图上，画一画，试一试。
结论：两种方法找到的C点，是一样的。
·
A’
归纳提升：回顾刚才的探究过程，我们是通过怎样的
过程、借助什么解决问题的？
利用轴对称图形能够重合（即相等）的特点构造对称点。
巩固练习
将探究二和探究三的做法和理由讲给同学听。
五、小结
本节课我们学习了
利用轴对称图形能够重合（即相等）的特点构造对应点，解决“将军饮马问题”，也就是最短路径问题。
恭喜你,认真地学完了这节课!有什么收获呢？
作 业：练习题
拓展：课后链接《一个影响巨大的路径问题 》
下次再见!