在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。

—毕达哥拉斯
三角形的中位线
第三章 证明（三）
有一位木匠师傅想把一块三角形木板分割成四个全等的小三角形，你能帮帮他吗？

做法:连接每两边的中点.
挑战分割三角形
挑战自己
三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图:在△ABC中,D,E,F分别是三边中点,则DE,EF,DF是△ABC的中位线.
三角形的中位线性质
猜想:三角形的中位线平行于第三 边,且等于第三边的一半.
猜一猜:三角形中位线与第三边在位置和数量上有什么关系?
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
三角形中位线的性质
各显其能
方案一
方案二
方案三
三角形的中位线性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
三角形中位线的性质
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.
求证: △ABC≌△ABC≌△ABC.
证明:∵ D,E,F分别是△ABC各边的
中点.
∴DE=BF=FC,EF=AD=DB,FD=CE=EA
(三角形的中位线平行于第三边,
且等于第三边的一半).
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
三角形中位线的性质
如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?
求证:四边形EFGH是平行四边形.
分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴四边形EFGH是平行四边形.
已知:如图,在四边形ABCD中, E,F,G,H分别为各边的中点.
做一做,想一想
从中你发现什么规律?
顺次如果连接特殊四边形的中点所得到的四边形是什么四边形?
分小组交流探索
原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；
原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；
原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形是正方形。
图1
图2
1、图1中AC=BD,则形成的中点四边形是（ ）形.
2、 图2中AC ⊥ BD,则形成的中点四边形是（ ）四边形.
3、把图1中的中点四边形的四边的中点连接起来，依次类
推、那么第100个中点四边形是（ ）四边形。
菱
矩
矩
′
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.
模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形.
要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.
定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
作业
1.教材P94第1、2、3题。
2.预习：特殊的平行四边形。
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的
一半.