八年级 上册
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
学习目标：

1.通过操作、验证等方式，
掌握角平分线的性质定理

2.能运用角的平分线性质定理
解决简单的几何问题.
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是
线段PC的长
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿
AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内互相交流一下吧！
探究1---想一想
A
Ｂ
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
0
温馨提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
试一试由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分线.
1〉平分平角∠AOB

2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？

3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
实践应用(1)
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
证一证
角平分线上的点到角的两边的距离相等
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
说一说
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∵OP平分∠AOB
∴PD=PE.
用符号表示为：
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等。
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵ BM为△ABC的角平分线
∴PD=PE同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
用一用（1）
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
温馨提示:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
用一用(2)
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，
求证：CF=EB。
应用与提高
∵　AD平分∠CAB
　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）
　∴　CD＝DE (角平分线的性质)
　　　在Ｒt△CDF和Rt△EDB中
　　 CD=DE （已证）
DF=DB （已知）
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL)
CF=EB （全等三角形
对应边相等）
证明：
丰收乐园
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
符号语言：
∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB(已知）
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
用尺规作角的平分线.
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路