矢量图解运动问题
运动合成与分解的图解方法
v1
v2
V
V=v1+v2
V12=v1-v2
v1
v2
V12
合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．
当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．
构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其它分运动的存在而发生改变．
描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算．
运动的合成与分解
运动的合成与分解遵循如下原理：
分解复杂运动的两种方法
引入中介参照系．
根据实际效果分解运动.
若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速度（相对速度）为vAB，则有
同样地，位移的合成与分解为
注意矢量运算式中下标的规律性!
加速度的合成与分解为
VAB= -VBA
雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
矢量图解示例1
本例求雨相对人(伞)的速度，引入中介参照系-人
雨对地的速度（绝对速度） v雨=4 m/s 竖直向下
v雨
人对地的速度（牵连速度）v人=3 m/s 向东
雨对人的速度（相对速度）V雨对人
v人
三速度矢量关系为
矢量图示
V雨对人
伞柄方向与竖直成
由“两质点相遇”知A处质点相对于B处质点的速度vAB方向沿AB连线
C
A
B
θ
v2m
vAB
d
l
由几何三角形与矢量三角形关系得:
方向与BC成
一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，另一质点以v2速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向如何？
矢量图解示例2
矢量图示
v2
假定某日刮正北风，风速为u，，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？
例1
人对地的速度（牵连速度） v
风对地的速度（绝对速度）u
风对人的速度（相对速度）V
本例求相对速度，引入中介参照系-人
由题给条件，速度关系为
且
矢量图示
V
u
v
当运动员朝南偏西
感到风从正右侧吹来
当v＞u时，无此情况！
当运动员朝南偏西
奔跑时感到风与他跑的方向所成夹角最大！
例4从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．
一个石块对地的初速度为 v1
另一个石块对地的初速度为 v2
两者相对速度为
矢量图示
v1
v2
v21
l
x21
以石块1为参考系，石块2的位移方向与v21相同:
以石块1为参考系，两石块初始距离为l:
最
小
距
离
d
由图
这个最短距离适用于
另一石块落地之前
从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．
例2
物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
矢量关系:
矢量图示
矢量△“面积”
在O点起跳速度v的大小为
物体做抛体运动时，只受重力作用．在发生L位移的时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
矢量关系:
矢量△“面积”
此时由
例5 敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍．绕带的时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？
设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意
绕薄磁带时,
得
带卷面积
绕一层时间
绕多少层
带卷面积
一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度v与它离地的高度h之间满足
的关系是v=Lvo/(L+h)，其中常数L=20cm，v0=2cm/s。求它上爬20cm所用的时间。
物系相关速度
物系相关速度共性
刚体
不发生形变的理想物体
实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时,即可将其视作刚体．
基本特征
具有刚体的力学性质，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的;
角速度
刚体上每一点的速度都是与基点(可任意选择)速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和.
转动速度
v=rω，r是对基点的转动半径，ω是刚体转动角速度．
任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的.
刚体各质点自身转动角速度总相同且与基点的选择无关．
v2
v2d
v1
v1d
O
在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度.
沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同.
相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和.
物系相关速度特征

刚性杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：
接触物系接触点速度的相关特征是：
线状相交物系交叉点的速度是:
1. 如图所示，AB杆的A端以匀速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点C的速度． （杆和圆柱接触点C’的速度大小）
这是杆约束相关速度问题
考察杆切点C,由于半圆静止,C点速度必沿杆!
v
C
v1
v2
vc
杆A点速度必沿水平!
以C为基点分解v:
由杆约束相关关系:
v2是A点对C点的转动速度,故
2. 如图所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点A3以速度v沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度vB2．
这是杆约束相关速度问题
A0
A1
A2
A3
B1
B2
B3
v
vA2
vA1
v2
v1
分析顶点A2、A1的速度：
分析B2点速度：
v1
v2
vB2
由图示知
由几何关系
3.细杆ABC在一竖直平面上靠着一个台阶放置，A端可沿着水平地面朝台阶运动，细干不离开台阶拐角。当ABC杆与水平地面夹角为图所示的φ时，杆的B点恰好位于台阶拐角处，而且C端运动速度值恰好为A端运动速度值的2倍，试求BC长与AB长的比值a。
3.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h．轨道上有两个物体Ａ和Ｂ，它们通过一根绕过定滑轮Ｏ的不可伸长的轻绳相连接．物体Ａ在下面的轨道上以匀速率v运动．在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴Ｐ与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直径，求：小水滴Ｐ恰脱离绳子落地时速度的大小．
O
A
B
P
v
h
30°
小水滴P刚与绳分离时应具有与OB绳中点相同的速度,这个速度是沿绳速度与绕O转动速度的合成:
v
vPn
vB
vBn
小水滴沿绳方向速度即为v
整个OB段绳有相同绕O转动角速度,故
则
以此速度斜抛落地
vP
如图所示，半径为R的半圆凸轮以等速v0沿水平面向右运动，带动从动杆AB沿竖直方向上升，O为凸轮圆心，P为其顶点．求当∠AOP=α时，AB杆的速度．
4
这是接触物系接触点相关速度问题
P
A
O
B
v0
vA
v0
根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，即
5.如图所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A点速度为v，方向水平．以铰链固定于B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r和R．试确定木板的角速度ω与角α的关系．
考察板、轴接触的切点C速度
板上C点与线轴上C 点有相同的法向速度vn,且板上vn正是C点关于B轴的转动速度 ：
C
A
B
α
C
vn
vn
线轴上C点的速度：它应是C点对轴心O的转动速度vCn和与轴心相同的平动速度vO的矢量和，而vCn是沿C点切向的，则C点法向速度vn应是 ：
v0
v
vCn
v0
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有
R
r
如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，另一个同样的轴环O2以速度v从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧傍第一个轴环．
6.
d
O1
A
O2
本题求线状交叉物系交叉点A速度
A
v1
v2
轴环O2速度为v，将此速度沿轴环O1、O2的交叉点A处的切线方向分解成v1、v2两个分量:
O2
由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点A的速度即为沿对方速度分量v1!
由图示几何关系可得:
7.如图所示，AB杆以角速度ω绕A点转动，并带动套在水平杆OC上 的小环M运动．运动开始时，AB杆在铅垂位置，设OA=h，求：⑴小环M沿OC杆滑动的速度；⑵小环M相对于AB杆运动的速度．
O
C
A
h
⑴
经时间t，杆转过角ωt，杆AB上 M点速度 :
由线状交叉物系交叉点相关速度特征
环M的速度等于vM沿杆OC 分量:
⑵小环相对于AB杆的速度大小等于速度v杆M沿AB杆方向分量:
方向如图!
将一小球以10m/s的初速度从楼顶平抛出去,如果小球做曲线运动的法向加速度为5m/s2,问小球这时下降的高度及所在处轨迹的曲率半径各为多少(空气阻力不计)
滑冰运动员在沿100m长的半圆形线路上把他的速率从2m/s均匀增加到12m/s。问在中间点处他的速率是多少？在该处，他的速度和加速度之间的夹角是多少？
图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB　和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为 ，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度 的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）
如图,A、B、C三位芭蕾演员同时从边长为l的三角形顶点A、B、C出发，以相同的速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A．试问经多少时间三人相聚？每个演员跑了多少路程？
由三位舞者运动的对称性可知，他们会合点在三角形ABC的中心O
vn
每人的运动均可视做绕O转动的同时向O运动，
vt
考虑A处舞者沿AO方向分运动考虑,到达O点历时

由于舞者匀速率运动,则
α
O
v1
设环O的速度为v2
以O′为参照绳抽出速度大小为v1,方向如示:
v2
则环O对环O′的速度大小为v1+v2,方向如示:
这个速度是O对O′沿绳“抽出”速度和对O′转动速度的合成
由绳约束特征:在同一时刻必具有相同的沿绳方向的分速度.
摩擦角
FN
Ff
F约束力
由摩擦定律:
◎支持面作用力(约束力)与正压力间的夹角称为摩擦角,约束力方向总与约束面法向成tan-1μ 的角度.
如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平面的夹角在什么范围内者是可能的？
物体所受地面约束力的摩擦角
分析物体恰开始滑动时的受力情况:
F约
作出物体所受三力恰构成的闭合矢量三角形:
推力与水平线所成角θ满足:
均可使物体沿水平地面滑动
m
mg
F约
Fmax
F约
Fmin
如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角!
巧取研究对象
尽量取整体
需“化内为外”时取部分
方程数不足时取部分
整、分结合，方便解题
如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑，顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？
专题2-问题4
链条的受力具有旋转对称性．链条各部分间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解:
FT
FT
Fi
α
链条微元处于平衡
△mg
FNi
Fi
压延机由两轮构成，两轮直径各为d＝50 cm，轮间的间隙为a＝0.5 cm，两轮按反方向转动，如图2-15上箭头所示．已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数μ＝0.1．问能压延的铁板厚度b是多少？
分析铁板受力如图：
小试身手题2
FN
Ff
铁板能前进，应满足
分析几何关系求角θ：
解得
b≤0.75 cm
巧解汇交力系
物体处于平衡时,其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一点,其合力为零.
如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙静止，求棒长．
专题2-问题5
棒 AB受三力:
A
B
O
G
FA
FB
棒 AB处于静止,三力作用线汇交于一点!
在三角形BCD中由正弦定理:
又
如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离为4R/3π ，其中R为圆柱体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ．
小试身手题6
F
C
G
P
由半圆柱处于平衡,三力作用线汇交于一点来确定地面约束力!
半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形
F约
摩擦角
由三角形与几何三角形相似,得
物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ
φm = 15°。
最后，μ= tgφm 。
答案：0.268 。
一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
，

即梯子与地面所成的最小的角为
一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为 ，与水平地面间的静摩擦系数为 ，与竖直墙面间的静摩擦系数为 ，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。
力臂定义：支点到力作用线的垂直距离，符号
求力臂作图
 力矩 M
M＝FL
（1）求力矩的两种常用方法
L
M＝FL sin 
M＝F1L
＝FL sin 
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
F合＝0
二．一般物体的平衡平衡与平衡条件：
物体处于静止或匀速运动状态，称之为平衡状态。
平衡条件：合外力为零且合外力矩为零。
M顺＝M逆
平衡综合问题:
FNL cos 45
＝GLcos 45 /2＋FNL sin 45
FN＝mg
F＝Ff＝FN＝mg
＝mg/2
对杆：
对板：
向右匀速运动时
向左匀速运动时
对杆：
FNL cos 45 ＋FNL sin 45
＝GLcos 45 /2
FN＝mg /3
对板：
F＝Ff＝FN＝mg
＝mg/6
如图10所示，质量为m的均匀杆与地面接触为一固定转动轴，杆与光滑球接触点距0为L/3。求竖直墙对球的弹力T。
2. 简解：对杆
对球体静止，水平方向有
如图所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi(i=1,2,... 6)依次架在水平碗口上，一端搁在碗口、另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求A1B1薄片对A6B6的压力．
10、解：本题中六个物体，其中通过分析可知A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析、找出规律，求出通式即可．
以第个薄片AB为研究对象，受力情况如图1所示，
第个薄 片受到前一个薄片向上的支持力、碗边
向上的支持力和后一个薄片向下的压力．选碗边
B点为轴，根据力矩平衡有 ，得 所以 ①

再以A6B6为研究对象，受力情况如图2所示，A6B6受到
薄片A5B5向上的支持力FN6、碗边向上的支持力和后一
个薄片A1 B1向下的压力FN1、质点向下的压力mg。选
B6点为轴，根据力矩平衡有
②
由①②联立，解得 所以A1B1薄片对A6B6的压力为
一长为L的均匀薄板与一圆筒按图所示放置，平衡时，板与地面成θ角，圆筒与薄板相接触于板的中心．板与圆筒的重量相同均为G．若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力．
如图所示，匀质圆柱体夹在木板与竖直墙之间，其质量为m，半径为R，与墙和木板间的动摩擦因数为μ，板很轻，其质量可以忽略。板的一端O与墙用光滑铰链相连，另一端A挂有质量为m′的重物，OA长为L，板与竖直夹θ角，θ=53°，试问，m′至少需要多大才能使系统保持平衡？并对结果进行讨论。
三个完全相同的圆柱体，如图所示，叠放在水平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？
：这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G，首先隔离C球，受力分析如
图1一7所示，由∑Fcy＝0可得
①
再隔留A球，受力分析如图1一8所示，由∑FAy=0得
②
由∑FAx=0得
③
由∑EA＝0得
④
由以上四式可得
，
而
，
，
9、解：如图所示，圆筒所受三个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为
，
板所受五个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为
板所受各力对圆筒和板的交点为转动轴的力矩平衡方程为
根据牛顿第三定律，有
联立以上各式，可解得地面对板的支持力和静摩擦力分别为
FN3=2G，
一根质量为m、长为的均匀横梁，需要用两只雪橇在水平雪地上将其保持水平状态运送。简化其过程如图（甲）所示。雪橇均与横梁固连，下端B与雪地接触，假定触地面积很小。用一距地h的水平牵引力F作用于前方雪橇，前后雪橇与雪地的动摩擦因数分别为μ1、μ2。在前后雪橇均与雪地接触时，使横梁沿雪地匀速向前移动，则h应满足什么条件？F应多大？（雪橇质量可忽略不计）
分析：系统受力如图11-78（乙）所示。其中 、 分别为地对雪橇的支持力，、分别为地对雪橇的摩擦力。由题意易知，F不能太大，h不能太高，否则 、 将会变为0，系统将以P为轴翻倒，此为临界状态。在这种情况下，所求问题与 无关。由一般物体的平衡条件即可解决。
解：根据平衡条件得
其中 以P为轴可得
由以上几式联立可得
（1） （2）

依照题意，应有 ≥0
所以由（1）式得 ≥0 （3）
由（2）式得 （4）
（3）、（4）式联立得 h≤ （5）
在满足（5）式条件下，所求F即为（2）式结果。
物体平衡的种类
模型特征
O
稍微偏离原平衡位置后能回到原位置
模型特征
稍微偏离原平衡位置后不能回到原位置
模型特征
能在随机位置保持平衡
O
平衡位置是位能最低的位置
判断物体平衡种类的一般操作
对由重力与支持力作用下的平衡
设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍偏离原平衡位置．
或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；
为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节”的描述，故常需运用合理的近似这一数学处理手段．
或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的平衡态属于哪一种．
依问题的具体情况，择简而从．
图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？
随机平衡
稳定平衡
不稳定平衡
给两小球线绳系统一扰动,从受力角度考察受扰动后,两小球重力沿绳方向力的合力指向,从而判断平衡种类!
如图所示,长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上．为了使杆即使没有摩擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达式Ｙ(x) （杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）
为满足题意即杆处于随遇平衡,应使杆的重心始终在x轴!
(0,)
(x,y)
表面的横截线满足
该表面为椭球面的一部分
如图所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末端装有质量同为m的小重球而组成．木钉及木杆的质量可忽略，木杆与木钉间夹角为α，此装置放在硬质木柱上，则l、L、α间应当满足______________关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置只能以O点为支点摆动而不致倾倒．
小试身手题3
为满足题意即系统处于稳定平衡,给系统一扰动, 两小球重力对O的力矩应能使系统回到原位!
原平衡位置时
受一微扰后
不能回到原位
原平衡位置时
受一微扰后
能回到原位
一根质量为m的均匀杆，长为L，处于竖直的位置，一端可绕固定的水平轴转动．有两根水平轻弹簧，劲度系数相同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才能使杆处于稳定平衡？
为使杆处于稳定平衡,给杆一扰动,弹簧拉力对O的力矩应大于杆重力矩!
FT
即
其中
得
FT
如图所示,一块厚d的匀质木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方．板与圆柱的一根摩擦因数足够大．试求板可以处于稳定平衡状态的条件．
R
C
令板从原平衡位置偏转一小角度α
板处于稳定平衡条件是重心升高!
以圆柱轴为参照,原板重心高度
扰动后重心高度
α
应有
考虑到
如图所示,儿童玩具不倒翁高h＝21cm，质量m＝300g，相对轴KD对称分布．不倒翁的下部是半径R＝６cm的球面，如果不倒翁放在与水平面成角α＝30°的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角β＝45°，则处于稳定平衡状态．为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶Ｋ加多少塑泥？
先求原重心位置：
在三角形OCD中运用正弦定理：
在水平面上：
不倒翁失去稳定平衡条件是重心高于O!
Δm
有一长为0.2 m、截面积为2 c

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