题选
力平衡 力矩平衡
几种力：
张力（拉伸）—绳子，处处相等吗？
有摩擦，离心力场，有自重等
弹力（挤压）—刚性物体，无形变，垂直于接触面
弹性物体，有形变，满足胡克定律
摩擦力—静摩擦（有无，大小，方向的判断）
动摩擦
重力（引力）—非接触力

细杆单位长度的质量为 。靠在半径为R的圆环上，上端与球相切。假设所有接触点皆有足够的摩擦，以使系统保持静止，求地面与圆环之间的摩擦力。
寻找关键关系，不需要列出所有方程。
杆的力矩平衡：
球的力平衡（水平方向)
关键：球的力矩平衡，两个接触点摩擦力相等！
张力在连续物体（绳与杆）中的分布
光滑曲线上有一匀质链条，求链条上任意位置的张力。证明如果链条两端处于同一水平高度则链条保持静止。
解：
取一小段长为dl的线元， 质量dm=ldl
两端张力之差（净张力）
dT=(dm)gsinq=ldlgsinq=lgdy
例：皮带绕过轮，其与轮相接触的一段在轮心所张角度为。皮带与轮之间的静摩擦力系数为。试求轮两方皮带中张力T1和T0之间的数量关系。
练习：
（2）一个质量为M半径R的园盘由轻质绳悬挂，如图所示。如果绳与园盘间存在摩擦，摩擦系数为 ，试计算绳子在园盘最低点最小可能的张力。
（3）如果园盘的侧面是光滑的，绳索的张力为多大？绳子作用在园盘上单位长度的作用力为多大？
例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K
引例：弹簧串联。哪个伸长更大？
n个弹簧串联，从下向上数
x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k,…
X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2k
M=nm
X=Mg(1+n)/2k
n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)

X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）
可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。。。
练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, K
先看一个类似的问题——旋转刚性杆的张力
L
T
T+dT
练习：均匀弹簧在离心力场中的伸长问题。 M, k （2010 IYPT题目）
x0
T
T+dT
x0+dx0
x
x+dx
类似于简谐振动方程，解是
当切掉末端dx长度对应的dm以后，质心向前移动dx，按照杠杆原理,与端点距离始终是l
-ldm=mdx
dx
mg
dm
26届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c, 求桌面对桌腿1的压力F1。
分析：力平衡，力矩平衡，对称性，
F1＋F2＋F3+F4＝F
F2＝F4
F3＋cF＝F1
差一个方程，弹性形变，X1=F1/k, X2=X4=F2/k, X3=F3/k
从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足
X1＋X3＝2X2
即F1＋F3＝2F2
以上方程解得
F1＝(2c+1)F/4, F3=(1-2c)F/4
讨论：
c>1/2, F3<0? 取F3＝0，重新解，以上哪个方程不必满足？
F1＋F2＋F3+F4＝F
F2＝F4
F3＋cF＝F1
X1＋X3＝2X2？？？
化成 F1＝cF

总结:
F1＝(2c+1)F/4， 0≤c≤1/2
F1=cF, 1/2≤c≤1
练习:(p507,4.11)
分析：
M: m:
加速度：
a1(+x方向） a=a1+a2
列方程：
m:
M:
IPhO4-1 (1970)
在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数＝0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在（a）远处的柱子，(b)木板的端面上。
试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？
解：（a）木板速度达到v0之前匀加速，
雪橇在木板经过的距离为
此后两者没有相对运动，马达空转，雪橇不能达到端面。
（b）系统动量守恒，设放开后木板的速度为V,雪橇为V+v0，
V=0。所以木板不动，雪橇以原有速度继续前进。t=L/v0
解1：两侧挂有M1,M2的滑轮与质量m的物体等效
解2：第一滑轮绳子张力为T, 重力加速度为g, 第二滑轮绳子张力为T/2, 重力加速度为g’=g-a,
T:T/2=g:(g-a)
a=g/2
IPhO20-2
不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2＝a, P2P3=b, P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？
解: 取坐标原点在质心，则
引力

质点1惯性离心力 与引力平衡，故
代入

两项不共线，所以系数分别为零，
IPhO9-1
半径R=0.5m的空心球以角速度 绕其竖直直径旋转。在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转。(g=10m/s2)
(1)实现这一情况的最小摩擦系数为多少？
(2)求 时实现这一情况的条件。
(3)在以下两种情况下研究运动的稳定性
(i)木块位置有微小变动；
(ii)球角速度有微小变动。
解：

（1）

（2）

（3）把 和 当作变量，判断N,f以及 的增减。
增加 ，则N增加，f减小，能满足 ，所以能保持平衡，
减小则N减小，f增大，不能满足 ，向下滑。
改变，
两者系数皆正，两者比值的变化更重要
附近，
该系数仍大于零。如果木块向上滑动，
增加，要求摩擦系数增加，
不够大，故滑下来；
如果向下滑，则摩擦力足够，不回来了。
附近
增加则
增大，不能保持平衡，向上滑；
减小则
减小， 保持平衡。
增加时，要求摩擦系数减小，可以停留；
如果向下滑，要求摩擦系数增大，摩擦力不够，返回。
解：选取地面参考系。水相对于参考系转动，任选一小块水，其受力如下图。mg为重力，N为这一小块水周围液体对它的作用力的合力，N应垂直于液体表面。
an
例 定量计算牛顿旋转水桶的水面形状
此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。
IPhO21-3中子星的旋转(p258)
毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。
这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。
令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp.
考虑一个中子星，质量 2.0*1030kg, 平均半径1.0*104m, 旋转周期 2.0*10－2 s
（1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。
由于长期运动中能量损失，中子星的旋转减慢，从而导致扁平率减小。中子星有一固态壳层，它浮在液态内核上。中子星会时而发生“星震”，结果造成壳层形状改变。在一次这样的星震过程中及震后，壳层与内核的角速度都会变化，壳层角速度的变化如图所示。
（2）利用图中数据计算液态内核的平均半径。可近似认为壳层与内核密度相同（略去内核形状变化）。
解：建立XOY坐标，原点在星体中心，表面方程 y=y(x) 。假设没有切向应力，即合力沿着表面法向（即与切线垂直）
沿切线取一个矢量 (1, dy/dx)，
表面质元dm受合力为 (GMdmx/r3 –w2xdm, GMdmy/r3)
两者垂直，内积为零：
GMdmx/r3 –w2xdm＋（GMdmy/r3 ) dy/dx＝0
Ydy+(1-w2r3/GM)xdx=0
2002决赛第五题
假设银河系的物质在宇宙中呈球对称分布，其球心称为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。
已知地球到太阳中心的距离为R0，太阳到银心的距离
太阳绕银心做匀速圆周运动，周期 。太阳质量为MS，银河系中发亮的物质仅分布在 的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答：
1.论证银河系物质能否均匀分布
2.计算银河系中发光物质质量最多有多少
3.计算整个银河系物质质量至少有多少
4.计算银河系中不发光物质（暗物质）质量至少有多少
上述计算结果均用太阳质量MS表示。
解：

如果均匀分布，M(r)~r3, v不可能是恒量。如果v=const, 必须M(r)~r
为了确定M(a)
铅笔从斜面滚落的收尾速度. 为了简化问题，把铅笔视为一个质量集中在中轴线上的质点。铅笔的截面是六边形的，有质量不计的六根长度为r的辐条，没有边沿。斜面的倾角是a，假设铅笔和斜面之间没有滑动，当“辐条”的端点碰到斜面时，铅笔不向上跳起。
（1）假设在一定条件下铅笔会达到一个收尾速度，解释其原因，并求该速度。求解时可以直接假定质心速度的极大值已经达到了稳定的值。
（2）如果存在非零的收尾速度，斜面的倾角a的最小值是多少？（可以给铅笔一个初速度。）
(3)  如果铅笔始终与斜面保持接触，斜面的倾角a的最大值是多少？
(4) 如果铅笔的截面是N边形的，即有N根等分的辐条，重新求解以上三问。假设N很大，可以用近似sinq=q，斜面倾角也可以设为很小。
(5)  N很大时，铅笔与斜面始终保持接触的最大可能的收尾速度为多少?
Problem1.
解答：
(1)碰撞损失的动能与滚到下一个支点势能的改变相等
(2)动能足够大，要能翻越一个山包
(b/2- a)
（3)约束解除的条件，惯性离心力大于重力的分量,发生在即将离开地的那只脚上（右脚落地以前的左脚）
（4)小角度展开，收尾速度
翻越一个山包的角度
约束不解除
对应的收尾速度
例：刚体支于不通过重心的水平轴,在重力作用下作定轴转动,就称为复摆.试研究复摆的运动.
 具体分析（定轴问题）
 运动方程
动量矩定理
对于小角度摆动
等效摆长
在质心下方
（OC连线外侧）
在OC连线上能否找到另一点O’，与O点具有相同的周期？即T’=T，或l0=l’0?
IPhO13-2 金属丝衣架可在图示平面内做小幅振动。在位置(a)和(b)的情形，长边是水平的，另两边边长相等。所有三种情形的振动周期均相同。问质心位于何处？试求出周期。（图中除尺寸外并未给出关于质量分布的任何信息。）长边42cm,高10cm.
解: 设质心到三个悬挂点的距离为l1, l2, l3, 周期
取决于等值摆长，相同L时l有两个解，满足
因此前面l1, l2, l3,三者中有两个是相等的。由于l1＋l2＝10， l3>21，所以l3不可能与l1,或l2相等，故l1＝l2＝5cm，
IPhO15-2 在某些湖泊中能经常观察到称之为“湖震”的奇异现象。它通常发生在长且窄的浅湖中。水的整个质量就像端咖啡待客时杯中的咖啡那样运动，这不能错当成湖面所看到的正常水波。
建立湖震模型，取一个矩形容器。用L表示容器的长度，h表示水的高度。假定水面最初与水平面有一很小的夹角。水开始绕容器一半长度处的水平轴振动，而水面始终保持为平面。
试对水的运动建立一个模型，并求出振动周期T的表示式。
表中列出了两个不同长度的容器中不同水深的振动周期。用适宜的方法核查，使实验数据较好得符合你求出的公式，并发表对你所用的模型的看法。
解: 水面下方的三角形移动到水面上方，三角形底边L/2,高r<整个水体的质心移动：
做T-h1/2图，实验值为
发射卫星
质量为m的卫星环绕的地球（质量为M）作半径为R0的圆周运动，求卫星的速度u0。
在上述圆轨道的某一点Q沿切线从u0加速到u1，使之改变轨道，达到远地点P距离地心为R1的椭圆轨道上，求加速后的速度u1，用u0和R0 ，R1表示。
导出卫星远离地球引力场范围的最小速度u1，用u0表示。
接第二问，卫星达到远地点P的速度u2，用u0和R0 ，R1表示。
在远地点P再次变轨，从u2加速到u3，使之沿着半径为R1的大圆轨道运行，求加速后的速度u3，用u2 和R0 ，R1表示。
6. 如果卫星受到一个微小的扰动，偏离了原先半径为R1的圆轨道，导出卫星到地心的距离r围绕平均距离R1来回振动的周期T。
7. 描绘受到扰动的轨道以及原有圆轨道的草图。
提示：必要的话可以运用以下卫星轨道的运动方程：
解：
h取零级近似
秋千问题. 一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。图示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千枢轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处在下蹲姿势时，秋千枢轴到男孩质心的距离为rd。设比值rd/ru=21/10=1.072。
为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B，E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够地快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程(从C到D，从G到H)也被假定是瞬间过程。
需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍(即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍)，需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。
角动量守恒，

由B摆到最高点C机械能守恒，

由D摆到E的过程也满足机械能守恒，即
经过n个周期角速度增加的因子是
。
经过n个周期角速度增加的因子是
滑动摩擦下的谐振子
力学里，经常用到所谓的相空间，即由体系所有粒子的坐标和动量（或者速度）构成的虚拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。
当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解为显函数形式（explicit form）。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。
本题中，我们建议利用相空间来分析一个自由度的力学系统，即一个坐标描述的系统。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映动量和坐标的依赖关系。
作为一个例子，图1给出了一个沿x轴正方向运动的自由粒子的相轨迹。
问题A 相图（3.0分）
A1 [0.5分]画出自由质点相轨迹，该质点在两个互相平行位于x = - L/2和x = L/2的全反射墙壁之间运动。
A2 研究谐振子的相轨迹，也就是质量为m受胡克力（F = - k x）作用的质点的相轨迹。
[0.5分]写出相轨迹的方程和相应的参数
[0.5分]画出谐振子的相轨迹。
A3 [1.5分]考虑一个长度为L质量不计的刚性棒，一端固定，另一端有质量为m的质点（重力加速度为g）。用棒与铅垂线之间夹角a作为描述系统的坐标。相平面是由()描绘的坐标平面，研究并画出在任意角度a下该摆的相图。设K为该系统不同性质的相轨迹种类的数目，求K的值。对每种相轨迹至少画出一条典型的相轨迹。给出描述的每一种相轨迹的参数的取值范围。（不要将平衡点当作相轨迹）。忽略空气阻力。
B. 滑动摩擦下的振子(7.0分)
考虑运动的阻力，我们通常处理两种类型的摩擦力。第一类是与速度有关的摩擦力（粘滞摩擦），可用来表达，例如固体在气体或液体中的运动。第二类是跟速度无关的摩擦力，其大小可用F=mN来表达，力的方向和接触物体间的相对速度的方向相反（滑动摩擦），如一个固体在另一个固体表面的运动。
作为第二种摩擦力的一个特例，考虑水平表面上和弹簧一端相连的物体，弹簧的另一端固定。该物体的质量是m，弹簧的弹性系数是k，物体和表面之间的摩擦系数是m。假定物体沿x轴作直线运动（取x=0为弹簧未伸缩的位置）。假定动摩擦系数和静摩擦系数是相同的，初始时刻物体位于x=A0（A0>0）的位置，速度为零。
B1. [1.0分]写出在滑动摩擦力下,简谐振子的运动方程。
B2. [2.0分]画出这一振子的相轨迹，确定振子的平衡位置。
B3. [1.0分]振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区域长度。
B4. [2.0分]确定振子的x正方向振动最大偏离量DA在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏离的时间间隔是多少？给出x正方向第n次最大偏离量A(tn)的表达式，其中tn是第n次达到正向最大偏离处的时间。
B5. [1.0分]画出坐标与时间的关系，并估计物体总的振动周数N。
A1. [0.5 p]
A2. [1.0 p]
A3. [1.5 p]

E<2mgL 摆动； E<E=2mgL 趋向于最高点
E>2mgL 绕轴转动
K = 3 ，三种轨迹：
振动，转动，临界点。
B1. [1.0 p]
Ffr = mg,
02=k/m
B2. [2.0 p] ，
摩擦力的影响体现为平衡位置的漂移：
相图是两组椭圆的组合：
p>0对应的上半平面的中心位于x-椭圆的一部分，
p<0对应的上半平面的中心位于x+椭圆的一部分，
两者在p = 0的地方连续，
B3. [1.0 p]
落在以下区域范围即可
B4. [1.5 p]
在下半平面椭圆半长轴减小，所以在x轴的交点平移了一个长轴的缩短量：
B5. [1.5 p]
总的振动周数N
练习：飞船环绕地球飞行时，处于失重状态，因此不能用常规仪器测量重量，以导出宇航员的质量。太空实验室2号等飞船配备有身体质量测量装置，其结构是一根弹簧，一端连接椅子，另一端连在飞船上的固定点。弹簧的轴线通过飞船的质心，弹簧的倔强系数为k=605.6N/m。
(1) 当飞船固定在发射台上时，椅子（无人乘坐）的振动周期是T0=1.28195s。
计算椅子的质量m0
(2)   当飞船环绕地球飞行时，宇航员束缚在椅子上，再次测量椅子的振动周期T’，测得T’=2.33044s , 于是宇航员粗略地估算自己的质量。他对结果感到疑惑。为了得到自己的真实质量，他再次测量了椅子（无人乘坐）的振动周期，得到T0’=1.27395s。
问宇航员的真实质量是多少？飞船的质量是多少？
注：弹簧的质量可以忽略，而宇航员是飘浮着。
假定弹簧弹性常数k=mgA/V0，气体常数R=8.314JK-1mol-1，对于单原子氦气，热容比 =5/3。
活塞在平衡位置作小幅谐振动，计算其谐振频率f 。
从初始平衡状态出发将活塞向下压缩气体至原来体积的一半，以初速度为0释放活塞任其运动。忽略气体渗漏，也忽略气缸、活塞、弹簧等热容量，即所有过程都是绝热的。计算在活塞速度为时氦气体积的所有可能的数值。
气缸里的活塞与弹簧(spring)Figure 1.1
考虑n=2摩尔的理想气体氦气，置于一垂直放置的圆柱体气缸中，如图1.1所示。水平放置的活塞可以在气缸中无摩擦上下运动。活塞质量为m=10kg (设g=9.8m/s2)，气缸截面积为A=500cm2。活塞被一无质量的弹簧与气缸上端连接，活塞向下运动时将氦气向下压缩，活塞上方为真空。系统开始阶段活塞与氦气处于平衡状态时，弹簧处于未形变状态，氦气压强为P0、温度为T0=300K、体积为V0。
小幅振动的频率为
f = 0.114 Hz.
Problem4.
Solution
“
质心系中，位移范围为L/2, 偶数次碰撞后位移为零，平均速度为零，故质心速度即为所求。
练习14.24(p535)：
质量为m1和m2 的两个小球，用长度为l的线连接，置于光滑水平桌面上。将这个系统快速旋转起来，这时m1暂处于静止状态，而m2以速度v0 垂直于它们的连线而运动。释放这个系统，求系统此后的运动和线中的张力。
解：系统不受外力，动量守恒
不受外力矩，角动量守恒
Problem2.
一根线密度为λ的细绳系在一根弹簧下端，弹簧的弹性系数为k，上端固定。绳的一部分拖在桌面上，悬空部分的长度为L。现将绳子稍稍提起一段长度为b的高度，然后释放。求振动的振幅与时间的关系。假设L>>b, 绳子原来拖在桌上的一段长度大于b，绳子没有摩擦。
为了计算振幅衰减，考虑每次振动的能量损失
设振动方程为
dt时间内振动次数能量损失为
与之对应的振幅减少
Problem3.
Solution
Problem5.
Problem6.
Problem7.
Problem8.
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉子时与墙所作的角。
解：
=?
质心加速度：
跳离时，N=0, 得：
得：
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为h碰撞前后关于A点角动量守恒：
解：
碰撞后机械能守恒：
解：
例题： 一质量为m,长为l的匀质细杆铅直地放置在光滑的水平地面上。当杆由静止倒下时，求地面对杆端的支撑力。
A点竖直速度为零：
Problem6.
Problem8.
例 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。
解：
受力分析：
约束运动问题
 运动学的约束：质点被限制于某个曲面或某个曲线上运动。
 约束反力：约束对质点的反作用力。
沿着约束的法向
例2（P143）：质点从光滑的静止大球的顶端滑下。试问滑到何处，质点就会脱离球面飞出。
求解及分析（初始条件）
当=cos-1(2/3), N=0 标志质点开始离开球面
例题： 质点沿光滑抛物线 y2=2x无初速的下滑，质点的初始坐标为（2，2），问质点在何处脱离抛物线。
提示：曲率半径
解：
解2 ：质点受力mg, N, 当N＝0时，水平方向受力为零，故ax=0, 即vx（或vx2)有极大值
引力问题
球壳的万有引力
地球内部物体受到的万有引力
兰色部分：不贡献引力
红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M’，M’是红色部分的总质量
球体的万有引力
O
R
F
r
原型：
假定巴黎和伦敦之间由一

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