1
刚体竞赛内容
2
一、刚体运动的描述
1、刚体的平动
可以用任一点（通常选质心）的运动来代表。
2、刚体的定轴转动
（1） 角量描述
角坐标 ： = (t)
角位移：
3
3、角速度矢量
方向:与转向成右手螺旋关系。
（2）匀变速转动的规律
4
定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面（平行）运动。
4、刚体的平面（平行）运动
处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点轴（⊥固定平面）的转动的合成。
刚体由1→2可分为
5
B——基点（任取）
对刚体上A点：
——平面运动刚体上任一点的速度
6
5、车轮（圆柱体）的无滑滚动
若滚动车轮边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，则称车轮作无滑滚动（纯滚动）。
车轮（中心）前进的距离与转过的角度的关系：
则
——无滑滚动的条件
或
7
▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为0.
车轮上任一点的速度：
G点：
B点：
A点：
例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。
8
例2、半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0时刻开始以恒定的角加速度沿直线纯滚动。任意t>0时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿，最高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。(2001第18届非物理类专业大学生物理竞赛试题)
质心参考系：圆环上任一点
地面参考系：
最低点：
最高点：
9
质心C的位矢为
二、刚体的动量和质心运动定理
1、刚体的质心
质量分立分布：
分量形式：
10
质量连续分布：
分量形式：
11
（1）只要质量分布和几何形状有相同的对称轴，质心必在此对称轴上。
（2）若刚体有多条这样的对称轴，质心必位于对称轴的交点。
匀质半圆盘：质心在x轴上
非均匀圆锥体，密度=Ay：
质心在y轴上
如匀质圆柱体:
x、y为其对称轴
质心在o点
12
（3）若刚体由若干部分组成，刚体质心与各部分质心的关系为：
2、刚体的动量和质心运动定理
质点系的动量及质心运动定理可沿用至刚体：
——质心运动定理（适用于惯性系）
13
例3、如图所示，
C
xC
求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。
由对称性分析，质心C应在x轴上。
解：
·
14
例4、一均匀铁丝弯成半径为R的半圆，求其质心。
解：
由对称性，
任取线段元dl,其质量dm=dl,
 为质量线密度。
思路：先取微元，再积分
技巧：统一积分变量
15
三、刚体定轴转动的角动量、转动惯量
1、刚体定轴转动的角动量（动量矩）
2、刚体对定轴的转动惯量
若质量分立分布：
若质量连续分布：
J取决于刚体的质量及其分布以及转轴的位置。
或
16
▲ 常见几种匀质刚体的转动惯量：
17
（1）平行轴定理：
二轴平行，其中一轴过质心C，对另一轴的转动惯量为：
m——刚体质量；d——两轴距离。
（2）垂直轴定理：厚度不计的刚体（连续分布、分立分布均可）对一与它⊥的坐标轴（z轴）的转动惯量，等于对它平面内另二直角坐标轴的转动惯量之和：
18
证明：
例5、均匀薄圆环：
由对称性，
由垂直轴定理，
由平行轴定理，
19
——微分形式
对定轴刚体，
——积分形式
3、刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
（1）刚体定轴转动对轴的角动量定理
20
（2）刚体定轴转动的角动量守恒定律
4、刚体定轴转动的转动定律
四、刚体定轴转动的动能定理
1、力矩的功
对刚体，内力矩不作功：
角动量定理、角动量守恒定律和转动定律适用于惯性系和质心系！
对非刚体，
21
2、刚体定轴转动的动能定理
（1）刚体定轴转动的转动动能
（2）刚体定轴转动的动能定理
对非刚体：
3、刚体的重力势能
一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。
（适用于惯性系）
22
五、刚体平面运动的动力学
刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基点轴的转动。通常选质心为基点。
1、刚体平面运动的基本动力学方程
若刚体受力均在oxy面内，则有
23
2、作用于刚体上的力
（1）作用于刚体上的力
对刚体，力的三要素：
大小、方向、作用线。
（2）力偶和力偶矩
力偶——大小相等方向相反的一对力。
力偶矩——力偶对某轴的力矩之和。
24
▲力偶对质心运动无影响。
力偶矩：
d——力偶臂
（3）刚体受力的等效处理
25
3、刚体平面运动的动能
刚体平面运动的动能等于随质心的平动动能与对质心的转动动能之和。
——科尼希定理
（证明略）
六、刚体在平面力系作用下的平衡条件
设各力均在oxy面内，则刚体静止平衡（或作匀速直线平动）的充要条件为：
其中，
通常写成分量形式：
26
七、质心参考系中的角动量：
刚体对惯性系中某定点的角动量等于质心对该定点的角动量加上刚体对质心的角动量（证明略）。
27
例、 一均质圆柱，质量m、半径R ，在水平外力F作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作用线与中心轴线的垂直距离为l，如图。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：不妨设静摩擦力f的方向向左，
由转动定律：
纯滚动条件：
圆柱对质心的转动惯量为
则由质心运动定理：
28
讨论：
l0,方向向左；
l>R/2, f<0, 方向向右；
l=R/2, f=0.
联立以上四式，解得
29
例、两均质圆柱轮子如图。移动两轮使它们接触，求转动状态稳定后两轮的角速度。
设两轮间摩擦力大小为f，稳定后两轮角速度分别为
由角动量定理，有
稳定后两轮边缘线速度大小相等：
选⊙为正
(1990第7届非物理类专业大学生物理竞赛)
30
31
对（杆+小球）系统，对O轴合外力矩为0，故角动量守恒：
（2）
碰后，系统质心位置为
系统的运动可看作随质心的平动和绕质心轴的转动。
32
对（杆+小球）系统，合外力为0，故动量守恒：
同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：
33
例12、光滑水平桌面上有一半径为R、质量为M的匀质圆盘，圆心O沿水平x轴以速度v0匀速运动，同时圆盘绕其圆心O以匀角速0转动，运动过程中与一静止在x轴上质量也是M的质点相碰，并粘在圆盘的边缘上。求：（1）碰后系统质心速度；（2）碰后系统绕质心转动角速度；（3）碰撞过程中系统损失的机械能。(2010“托普杯”天津市大学生物理竞赛)
34
解:(1)
对（圆盘+质点）系统，合外力为0，故动量守恒：
(2)碰后系统的运动可看作随质心C的平动和绕质心轴的转动。
系统对C轴的合外力矩为0，故角动量守恒。
碰撞前瞬间，系统对C轴的角动量即圆盘对C轴的角动量：
35
（3）以水平桌面为参考系，系统碰撞前的动能为
碰撞后的动能为
损失的机械能为
37
例、质量为m长为l的均质杆，其B端放在桌面上，A端用手支住，使杆成水平。突然释放A端，在此瞬时，求杆质心的加速度和杆B端所受的力。
解：
释放后，杆的运动可看作随质心的平动和绕质心轴的转动。
桌面参考系：
质心参考系：
释放瞬间，B不动，有
联立求解
38
方法2：
桌面参考系：释放瞬间，对B轴，有
质心加速度：
由质心运动定理，有
39
练习1： 均质细棒 m,l, 水平光滑轴O,棒由水平静止释放，求摆到竖直位置时质心的加速度和轴对棒的作用力。(1997第14届非物理类专业大学生物理竞赛)
解：
由机械能守恒：
由质心运动定理：
质心加速度：
40
练习2： 一均质圆柱体在水平地面上，若沿圆柱体上缘作用以水平拉力F使柱体作加速无滑滚动，求地面对圆柱体的静摩擦力。
不妨设静摩擦力f向左，则
“-”说明f方向与假设的相反，应为向右。
41
练习3：圆心为O、半径为R、质量为4m的匀质圆板，内切地割去半径为R/2的小圆板后，剩余的板块如图所示，求其对过质心C且⊥板面的转轴的转动惯量。(2003北京市非物理类专业大学生物理竞赛)
小圆板质量为m，将剩余的板块再割去一个同样大小的小圆板O′ (如图所示)，则剩余部分质心在O点，