电磁感应面面观
v
-
动生电动势
+
E
B
感生电动势
示例
示例
如图所示，一长直导线中通有电流I＝10 A，有一长l＝0.2 m 的金属棒AB，以v＝2 m/s的速度平行于长直导线做匀速运动，若棒的近导线的一端与导线距离a＝0.1 m，求金属棒AB中的动生电动势．
专题22-例1
I
直线电流磁场分布有
距直线电流ri处元动生电动势
v
设棒中总动生电动势为ε,
ri
专题22-例2
通电螺线圈内磁场分布有
圆盘产生转动动生电动势
电流表读数:
如图所示是单极发电机示意图，金属圆盘半径为r，可以无摩擦地在一个长直螺线圈中，绕一根沿螺线圈对称轴放置的导电杆转动，线圈导线的一端连接到圆盘的边缘，另一端连接到杆上，线圈的电阻为R，单位长度有n匝，它被恰当地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量B0平行，若圆盘以角速度ω转动，那么流过图中电流表的电流为多少？
规律
试手
B0
O
a
返回
在磁感应强度为B，水平方向的均匀磁场内，有一个细金属丝环以速度做无滑动的滚动，如图所示．环上有长度为l的很小的缺口，磁场方向垂直于环面．求当角AOC为α时环上产生的感应电动势 .
小试身手题1
开口的细金属丝环在滚动过程“切割”磁感线而产生动生电动势.如图:
v
v
A
O
C
无限长直线电流周围磁感应强度的分布规律为
I
v
d
直角三角形线圈ABC的AB边在距直线电流d时的动生电动势为
l
A
C
直角三角形线圈的BC边各段处在不同磁场,取第i段:
有效切割长度:
f
如图所示，在电流为I的无限长直导线外有与它共面的直角三角形线圈ABC，其中AB边与电流平行，AC边长l，∠BCA=θ，线圈以速度v向右做匀速运动，求当线圈与直线电流相距d时，线圈中的动生电动势.
小试身手题2
B
如图所示，一根永久性圆磁棒，在它的磁极附近套上一环形线圈，摆动线圈，使线圈沿轴做简谐运动，振幅A=1 mm（这比磁铁和线圈的尺寸小得多），频率f=1000 Hz．于是，在线圈里产生感应电动势，其最大值εm=5V，如果线圈不动，线圈通以电流I=200 mA，求磁场对线圈的作用力 .
小试身手题16
设线圈所在处磁场辐向分量为Bx，线圈摆动时“切割”Bx而产生动生电动势，线圈简谐运动最大速度:
此时有最大电动势：
线圈通电时受所在处磁场辐向分量Bx安培力:
返回
一个“扭转”的环状带子（称为莫比乌斯带）是由长度为L，宽度为d的纸条制成．一根导线沿纸带的边缘了一圈，并连接到一个电压表上，如图所示．当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂直于纸带环所在面的磁场中，且磁场随时间均匀变化，即 ，电压表记录的数据为多少？
专题22-例3
磁场随时间均匀变化
变化的磁场引起感生电场:
电压表读数:
由法拉弟电磁感应定律,每个线圈中的电动势为:
变化电流在螺线管上产生变化的匀强磁场，变化的磁场产生感生电场。带电粒子在磁场及感生电场中受洛伦兹力与电场力；在向心力与速度相适配的确定轨道做圆周运动.
①
②
粒子绕行一周时间设为ΔT,则
由动量定理，感生电场使静止粒子获得速度：
粒子运动的一个动力学方程为：
规律
试手
感应加速器的磁场设计
E
eE
Fm
由动量定理，感生电场使电子增加速度Δv为：
当电子速度为v 时,有：
返回
轨道所在处的磁场磁感应强度为轨道内磁场平均磁感应强度的一半!
在半径为R的圆柱形体积内充满磁感应强度为B的均匀磁场．有一长为l的金属棒放在磁场中，如图所示，设磁场在增强，其变化率为k．⑴求棒中的感生电动势，并指出哪端电势高；⑵如棒的一半在磁场外，其结果又如何？
小试身手题3
回路中的感生电动势
B
O
棒一半在磁场外时
右端电势高
一个很长的直螺线管半径为R，因线圈通过交流电而在线圈内引起均匀的交变磁场B=B0sinωt，求螺线管内、外感生电场E的分布规律.
小试身手题4
把螺线管理想化为无限长通电直螺线管，其磁场均匀且只分布在管内．由于磁场按正弦规律变化，必会引起感生电场.
B
O
在管内,距轴心r处
其中
在管外,距轴心r处
自感系数
电感
线圈面积
单位长度匝数
总匝数
有无铁芯
产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能转变成磁场能的过程!
电源移送元电量为
元功为
电流由0增至I做的总功为:
先计算螺线管的自感系数
达到稳定时,磁通量不变:
由能量守恒:
小试身手题12
⑴闭合开关稳定时
这也是开关刚打开时电感的端电压！
⑵开关打开过程，电源电流为0，通过电表的是自感电流
电感上电流从原来的
⑶开关闭合过程，电源电流与自感电流叠加，通过电表的是自感电流
电感上电流从原来的
如图所示电路，直流电源的电动势为E，内阻不计，两个电阻值为R，一个电阻值为r，电感的自感系数为L，直流电阻值为r．闭合开关S，待电路电流稳定后，再打开开关S（电流计G内阻不计）⑴打开开关时，电阻值为r的电阻两端电压为多少？ ⑵打开开关后有多少电量通过电流计？ ⑶闭合开关到电流稳定时，有多少电量通过电流计？
电磁涡流制动器由一电阻为ρ、厚度为τ的金属圆盘为主要部件，如图所示．圆盘水平放置，能绕过中心O的竖直轴转动，在距中心O为r 处，一边长为a的正方形区域内有垂直于圆盘平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若r a，试写出圆盘所受的磁制动力矩与圆盘转动角速度之间的关系式.
处在磁场中的小金属块电阻为：
由法拉弟电磁感应定律，小金属块中的感应电动势为：
小金属块中产生的感应电流（涡流）为：
磁制动力矩：
小试身手题13
释放后棒在重力与安培力共同作用下做加速度减小的加速运动，由于线圈自感及棒的切割运动，产生与电源电动势相反的感应电动势，使通过AB棒的电流逐渐减小，当感应电动势与电源电动势相等时，棒上无电流，棒加速度为g，此后感应电动势大于电源电动势，安培力与重力方向相反，当电流达到恒定，棒速度达到最大时，线圈自感电动势为零，通过电流
小试身手题14
如图，在竖直面内两平行导轨相距l＝1 m，且与一纯电感线圈L、直流电源E（ε，r）、水平金属棒AB联为一闭合回路，开始时，金属棒静止，尔后无摩擦地自由下滑（不脱离轨道）．设轨道足够长，其电阻可忽略，空间中磁场B的大小为0.4 T，其方向垂直于轨道平面，已知电源电动势为ε＝9 V，内电阻r＝0.5Ω，金属棒质量m＝1 kg，其电阻R＝1.1Ω，线圈自感系数L＝12 H，试求金属棒下落可达到的最大速度．
小试身手题5
空洞处视作变化率相同的两反向匀强磁场Ba、Bb叠加:
ra
rb
d
两变化磁场在空洞中A处引起感生电场Ea、Eb:
空腔内为一匀强电场！
一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一个圆柱空间，两圆柱轴间距离，图所示为垂直于轴的截面．设两圆柱间存在均匀磁场，磁感应强度B随时间t线性增长，即 B=kt ．现在空腔中放一与OO′成60°角、长为L的金属杆AB，求杆中的感生电动势．
基尔霍夫第一定律
基尔霍夫第二定律
含容电路
暂态电路
在半径为a的细长螺线管中，均匀磁场的磁感应强度随时间均匀增大，即B=B0+bt．一均匀导线弯成等腰梯形闭合回路ABCDA，上底长为a，下底长为2a，总电阻为R，放置如图所示：试求：⑴梯形各边上的感生电动势，及整个回路中的感生电动势；⑵B、C两点间的电势差．
专题22-例6
⑴梯形回路处于感生电场中
B
B
A
C
D
⑵由全电路欧姆定律:
由一段含源电路欧姆定律:
两个同样的金属环半径为R，质量为m ，放在均匀磁场中，磁感应强度为B0，其方向垂直于环面，如图所示．两环接触点A和C有良好的电接触，角α=π/3．若突然撤去磁场，求每个环具有的速度．构成环的这段导线的电阻为r，环的电感不计，在磁场消失时环的移动忽略不计，没有摩擦 ．
专题22-例7
磁场消失过程中,两环中产生的感应电流受磁场安培力冲量,因而获得动量.
磁场消失的Δt时间内每环平均电动势
由基尔霍夫定律
由动量定理:
如图所示，由均匀金属丝折成边长为l的等边三角形，总电阻为R，在磁感应强度为B的均匀磁场中，以恒定角速度ω绕三角形的高ac轴转动，求线圈平面与B平行时，金属框的总电动势及ab、ac的电势差Uab、Uac．
小试身手题6
线圈平面与B平行时，金属框的总电动势由
B
线圈等效电路如图
a
b
c
d
由一段含源电路欧姆定律:
I
开关闭合后，电源电流通过电路，达到稳定时，金属小球在适当位置沿球面做匀速圆周运动;杆绕球面球心转动产生与电源相反的电动势，回路中电流为零 :
mg
N
代入数据:
在轻的导电杆的一端固定一个金属小球，球保持与半径为R＝1.0 m的导电球面接触．杆的另一端固定在球心处，并且杆可以无摩擦地沿任何方向转动．整个装置放在均匀磁场中，磁场方向竖直向上，磁感应强度B＝1.0 T．球面与杆的固定端通过导线、开关与电源相联，如图所示．试描述当开关闭合后，杆如何运动？如果杆与竖直线之间的夹角稳定在α＝60°，求电源的电动势．
小试身手题7
如图所示，无限长密绕螺线管半径为r，其中通有电流，在螺线管内产生一均匀磁场B．在螺线管外同轴套一粗细均匀的金属圆环，金属环由两个半环组成，a、b为其分界面，半环的电阻分别为R1和R2，且R1＞R2，当螺线管中电流按 均匀增大时，求a、b两处的电势差Uab．
螺线管内磁场变化规律为
金属圆环所在处
金属圆环等效电路如图
由一段含源电路欧姆定律:
a
O
r
Ｂ
b
小试身手题8
设导线的线电阻率为ρ,则两回路电阻 :
两回路电动势大小 :
等效电路如图 :
由一段含源电路欧姆定律:
小试身手题9
小试身手题10
环形金属丝箍围在很长的直螺线管的中部，箍的轴与螺线管的轴重合，如图所示．箍由两部分组成，每部分的电阻R1、R2不同且未知．三个有内阻的伏特表接到两部分接头处A点和B点，并且导体A—V3—B严格地沿箍的直径放置，而导体A—V1—B和A—V2—B沿螺线管任意两个不同方位放置，交变电流通过螺线管，发现这时伏特表V3的读数u0＝5 V，伏特表V1的读数u1＝10 V．问伏特表V2的读数是多少？螺线管外的磁场以及回路电感不计．
解答
螺线管通交流电,感生电场的方向可能为顺时针或逆时针
顺时针时
V2
A
B
R1
R2
V3
逆时针时
B
V2
A
R1
R2
V3
读题
小试身手题15
粒子过C点的速度决定所受洛伦兹力,当洛伦兹力全部作向心力时,粒子与轨道无作用!
x
y
O
B1
B2
A
qvcB2
A、C点间的电势差为
涡旋电场力做功使粒子动能增加：
C点动力学方程为：
如图所示，一椭圆形轨道，其方程为 ，在中心处有一圆形区域，圆心在O点，半径为r，r＜b．圆形区域中有一均匀磁场B1，方向垂直纸面向里，B1以变化率k均匀增大．在圆形区域外另有一匀强磁场B2，方向与B1相同．在初始时，A点有一带正电q、质量为m的粒子，粒子只能在轨道上运动，把粒子由静止释放，若要其通过C点时对轨道无作用力，求B2的大小．
C
如图所示，半径为R的无限长圆柱形匀强磁场区域的磁感应强度为B，方向竖直向上，半径为R的绝缘光滑细环水平放置，正好套住磁场区．在细环上串有一质量为m、电量为q的带正电小珠．t＝０时，磁场B＝０；0＜t＜T时，B随时间t均匀增大；t＝T时，B＝B0；此后保持B0不变．试定量讨论t＞T时小珠的运动状态及小珠对圆环的径向正压力．（小珠所受重力与圆环支持力平衡） ．
小试身手题17
磁场均匀增大时有涡旋电场;磁场恒定时电场消失!
B0
有涡旋电场时,场强为
珠子受电场力而加速,由动量定理:
磁场稳定时珠子的速度为:
珠子匀速圆周运动的动力学方程为:
qvB0
F
Ａ．“电源”受有一恒定外力，初速度为零；回路初始态电流为零，“电源”电动势为零．
B．“电源”不受外力（安培力除外） ，具有初速度；回路初始态有电流，“电源”有电动势．
规律
规律
“电源”为受有一恒力的导体棒产生动生电动势
电流达到恒定时
,棒匀速运动,速度
电流达到稳定的过程中
纯电阻电路
“电源”为受有一恒力的导体棒产生动生电动势
电流恒定
,棒匀加速运动,加速度
突变!
纯电容电路
返回
“电源” 动生电动势减小
电流为零时达到稳定态
电流减为零的过程中
纯电阻电路
“电源” 动生电动势恒定
电流稳定
纯电容电路
突变!
本题三个感应电流电路中,“电源”均为受有恒定外力（重力之“下滑”分力）的金属杆在匀强磁场中做切割运动产生动生电动势，通过开关转换，构成纯电阻电路、纯电容电路及纯电感电路．初始状态相同的三个电路，在不同的电路条件下，其暂态过程及稳定态迥异。
S→1
纯电阻电路
经加速度减小的加速过程，达到稳定态
S→2
纯电容电路
稳定态时电流恒定，导体棒做匀加速运动
续解
S→3
纯电感电路
线圈产生自感电动势
导体棒的运动方程为
取下滑
加速度为零的平衡位置为坐标原点
纯电感电路无稳定状态，导体棒和电流均做周期性变化
振动方程为
读题
⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势:E=Blv0,此后左棒开始加速,右棒则减速，至两棒速度相同即达到稳定态;
B
对两棒由动量守恒：
设右棒经时间t达稳态，元过程
过程中两棒产生的动生电动势互为反电动势，则：
中运动方程为
右棒速度公式为
左棒速度公式为
续解
⑵通过两棒的电量相同，对任一棒运用动量定理导出式：
⑶设两棒间距离的最大增量为x：
读题
半径为R的金属丝圆环，有一个沿直径方向放置的金属跨接线，左、右两半圆上分别接上电容器C1和C2，如图所示．将环放置在磁感应强度随时间而线性增大的磁场中， ，磁场方向垂直于环面．某一时刻撤去跨接线，接着磁场停止变化，求每个电容器上带的电量 ．
小试身手题11
金属跨接线两端电压即原来各电容器电压,亦即环上感生电动势的一半:
撤去跨接线并停止磁场变化,两电容器相互充、放电直至平衡:
电容器上原电量为
当棒的速度达最大时电容器电量
设此过程历时Δt,由动量定理:
最大效率为25%
如图所示为一“电磁枪”，它有一轨距为l、电阻可以忽略的水平导轨，导轨另一端与一个电容为C、所充电压为U0的电容器相连接，该装置的电感可以忽略，整个装置放入均匀的竖直的磁感应强度为B的磁场中，一根无摩擦的质量为m、电阻为R的导体棒垂直于轨道放在导轨上，将开关翻转到b，求导体棒获得的最大速度vmax及这个“电磁枪”的最大效率．
小试身手题18
一个细的超导圆环质量m、半径r、电感L，放在竖直的圆柱形磁棒上面，如图所示．圆环与棒有同一对称轴．在圆环周围的圆柱形磁棒的磁场在以圆环中心为坐标原点的x-0-y坐标中可近似地表示为 和 ，其中B0、α、β为常量．初始时，圆环中没有电流，当它被放开后开始向下运动且保持它的轴仍为竖直，试确定圆环的运动并求圆环中的电流．
解答
小试身手题19
初始时，圆环中没有电流，环中磁通量 :
圆环开始向下运动时,
变化,感应电流I的磁通量
环中磁通总量 :
超导线圈
环受安培力为 :
其中,环面过平衡位置时 :
环所在处磁场
Fm
Fm
mg
环面在平衡位置下y时 :
读题
续解
∴圆环在y 轴上做简谐运动,周期为:
圆环中最大电流为:
圆环中电流随时间变化规律为:
如图（a）所示，在水平地面上有足够长的两条平行金属导轨，导轨上放着两根可无摩擦地滑行的平行导体棒，每根棒中串接电容为C的相同固体介质电容器，构成矩形回路．整个回路处在匀强磁场中，磁场方向与回路平面垂直．已知两棒长均为l，质量均为m，电阻均为R，其余电阻不计．开始时左棒静止，右棒以初速v0平行导轨运动，则在运动过程中可给两电容器充电．⑴两棒的最终速度是否相同？⑵就电容器C充电过程而言，回路可等效为图（b）所示无外磁场的静态回路，试求图（b）中 和 值．
解答
小试身手题20
(a)
B
(b)
S
⑴右棒以初速度v0平行导轨运动时产生电动势:
E=Blv0,此后回路有充电电流，左棒开始加速,至两棒速度差恒定即达到稳定态;
B
对两棒分别由动量定理：
故达到稳定时，回路中总电动势 ：
⑵两电路等效,
由充电之末知
读题
由充电之初知
Blv0