16——26届全国中学生物理竞赛
光学复赛试题
几何光学的 近轴成像
光轴---- 光学系统的对称轴
近\傍轴光线----
与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
常用函数的幂级数：
取近似的技巧和原理
一级近似：保留到一次项
泰勒级数:
复习回顾
光的折射定律：
①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；
②折射光线和入射光线分居法线两侧；
③入射角 与折射角 满足；
④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为 的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角 ）。
多层介质折射 如图：多层介质折射率分别为 则由折射定律得：
狭缝S：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像
透镜L1：与狭缝的距离为f1，使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆筒轴平行的平行光束．
分光棱镜：使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束．
透镜L2：使各种单色平行光束经L2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）．
观察屏P：位于L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上
透镜L3：与P的距离f3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）
由几何关系可得
由折射定律可得
从以上各式得
解得
以 ， 代入，得
与 对应的 值为
端面处入射角 最大时，折射角 也达最大值，设为
当 时
当 时
于是 的表达式应为
2. 可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得 、 、 、 ，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同．已知空气的折射率等于1，故有
这结果适用于 为任何值的情况。
第20届复赛四、(20分)如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为 的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面． 为以球心 为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴 上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．
图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和 ，折射光线与坐标轴的交点在 。令轴上的 距离为 ， 的距离为 ，根据折射定律，有
在 中
得
设 点到 的距离为 有
得
解得
为排除上式中应舍弃的解，令 ，则 处应为玻璃半球在光轴 上的傍轴焦点，由上式
由图可知，应有 ，故式（5）中应排除±号中的负号，所以 应表示为
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有 ，其中折射光线与 轴交点最远处的坐标为
在轴上 处，无光线通过。
随 增大，球面上入射角 增大，当 大于临界角 时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角 相应的光线有
这光线的折射线与轴线的交点处于
在轴 上 处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴 上玻璃半球以右
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。 与 就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示。
第16届复赛
二、（25分）两个焦距分别是 和 的薄透镜Ll1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。
若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？
2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。
回顾1；像与物的概念：
回顾2；薄透镜成像公式是：

式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。
发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
解答
l．在所示的光路图中
当入射光线与出射光
线平行时，图中的 ，利用相似三角形关系可求得
从而求得
联立方程可得
由于 、 、 均已给定，所以 为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在L1的左方与L1相距 处，又由于 与 无关，凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出射光线相互平行．
2．由结果
当时 ， ，
当时 ， ， ，
1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中 表示组合透镜的平面， 、 、 为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．根据透镜成像公式
可解得
因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得 ≈1.757h
26届 五、内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为 ，式中ω为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。
观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。
旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为
旋转抛物面方程可表示为
停转后液面水平静止．由液体不可
压缩性，知液面上升．以下求抛物
液面最低点上升的高度．
抛物液面最低点以上的水银，在半径R、高 的圆柱形中占据体积为M的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为V的部分无水银．回转体M在Z高度处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得Z处圆环面积
得Z处圆环面积
将V体倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体 ，相应抛物面方程变为
其高度Z处的水平截面为圆面，面积为
由此可知
即停转后抛物液面最低点上升
因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为 ．凹面镜成像时，物距 即所求距离，像距v与像长分别为
平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为
像距与像长分别为
两像视角相同要求
即
可解得
18届复赛一个放在空气中的玻璃棒，折射率n0=1.5，中心轴长 L=45cm，一端是半径为R1=10cm的凸球面。问：
（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远的物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒的另一端应磨成什么样的球面？
（2）对于这个玻璃棒射出的平行光束与主光轴成小角度f2，求f2/f1（此比值等于该玻璃棒望远系统的角放大率）
解：对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处
R1=10cm
O1
F1’
C1
n0=1.5
即
由正弦定理、
折射定律和
小角度近似得
光线 射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心 一定在端面顶点 的左方， 等于球面的半径
仿照上面对左端球面上折射的关系可得
又有
代入数值可得
即右端为半径等于5cm的向外凸的球面．
（2）求入射和出射平行光线与主光轴夹角的比 f2/f1
|f1’|=30cm
|f2|=15cm
F1’
C1
(F2)
C2
f1
R1=10cm
C1
C2
R1=5cm
f2
F1
(F2)
通过球心的光线，在球面上折射不改变方向
球面折射成像
联立上式解得
球形折射面两侧
的介质折射率分
别n1和n2，C是
球心，O是顶点，球面曲率半径为R，S是物点， 是像点，对于近轴光线
这是球面折射的成像公式，式中u、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R；则当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
球面折射成像
当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距 ，有。
当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点），这时物距即为第一焦距 ，
将 、 代入成像公式改写成
19届复赛：五：薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为n1、n2，则透镜两侧各有一焦点（设为F1和F2 ），但F1 、 F2和透镜中心的距离不等，其值分别为f1、 f2 。现有一薄凸透镜L，已知此透镜对平行光束起会聚作用，其左右两侧介质的折射率及焦点如图所示。
（1）试求出此时物距u，像距v，焦距f1、 f2四者之间的关系式。
（2）若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为q1，则与之相应的出射光线与主轴夹角q2多大？
（3) f1，f2 ，n1 ， n2四者之间有何关系？
L
n1
n2
F1
f1
f2
F2
利用焦点的性质
用 和 分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得
简化后即得物像距公式
（2）薄透镜中心附
近可视为薄平行板,
入射光线经过两次折
射后射出，放大后
的光路如图复解所示
图中为 入射角，
为与之相应的出射角， 为平行板中的光线与法线的夹角。设透镜的折射率为 ，则由折射定律得
3）由物点 射向
中心的入射线，经
L折射后，出射线
应射向 ，如图所示，在傍轴的条件下，有
二式相除
用（1）式的 代入得
即
用（1）式的 代入
即
从而得他们之间关系式
条纹间距关系式
1．求 经双缝产生的干涉图像的零级亮纹 的 位置
设 点的坐标
为 它也就是光源 与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即
由双缝到 点的光程差 ，从 作 的垂线交于H点，三角形 与三角形 相似,因
则
从 作 的垂线交于G， 到双缝的光程差
三角形 与三角形 相似，因 ，则
对满足零光程差条件的而言
得
回顾1：光的折射定律
①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；
②折射光线和入射光线分居法线两侧；
③入射角与折射角满足 ；
回顾2：光子说
光子的能量跟它的频率成正比即
光子也是物质，它具有质量，其质量等于
光子也具有动量，其动量等于
式中h为普朗克恒量
按照光的折射定律有
几何关系还可知
激光光束经两次折射，频率保持不变，
故在两次折射前后，光束中一个光子的
动量的大小和相等，即
光子动量的方向由于光束的折射而偏转
了一个角度 ，由图中几何关系可知
若取线段 的长度正比于光子动量 ， 的长度正比于光子动量 ，则线段 的长度正比于光子动量的改变量 ，由几何关系得
为等腰三角形，其底边上的高 与 平行，故光子动量的改变量的方向沿垂直 的方向，且由 指向球心 ．
光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即

式中是光在小球内的传播速率。
按照牛顿第二定律，光子所受小球的
平均作用力的大小为
按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小 ，即
力的方向由 点指向 点
26届七、（20分）1．设想光子能量为E的单色光垂直入射到质量为M、以速度V沿光入射方向运动的理想反射镜（无吸收）上，试用光子与镜子碰撞的观点确定反射光的光子能量E′。可取以下近似：
，其中c为光速。
2.若在上述问题中单色光的强度为Φ，试求反射光的强度Φ′（可以近似认为光子撞击镜子后，镜子的速度仍为V）。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播方向单位面积的光子的能量。
参考解答：
1．光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现为
其中 为碰撞后反射镜的速度．从上两式消去 ，得
当 时， ，可得
2.考察时刻位于垂直于光传播方向的
截面A左侧的长为光在1s时间内所传
播的距离c1s、底面积为单位面积柱
体内的光子，如图1所示．经过1s时间，它们全部通过所考察的截面．若单位体积中的光子数为 ，根据光强的定义，入射光的强度
若A处固定一反射镜，则柱体的底面S2处的光子在时刻t到达位于A处的反射镜便立即被反射，以光速c向左移动；当柱体的底面S1在t+1s到达A处被反射镜反射时，这柱体的底面S2已到达A左边距离A为c1s处，所有反射光的光子仍分布在长为c1s、截面积为单位面积的柱体内，所以反射光的强度与入射光的强度相等．
回顾1；
时间延缓效应
在另一相对观察者运动的惯性系中观测的这两个事件的时间间隔，称为测时，用t 代表。
原时
测时
—测时比原时长
时间延缓效应
回顾2； 长度收缩
测长
原长
原长最长，测长比原长短—长度收缩效应
回顾3；相对论动力学
（1）质量　狭义相对论理论中，物体的质量是随着速度而改变的，两者的关系是
式中m０是物体在相对静止的惯性参照系中的质量，叫做静止质量，m则叫做相对论质量．
（2）动量　在相对论中，动量的表达式是
ｐ＝（ｍ０／ ）ｖ．
（3）运动时能量 E=mc２
（1）由能量与速度关系及题给条件
可知运动电子的能量为
由此可解得
图复解 19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向电子A入射光子和散射光子的动量分别为 和 ，方向如图复解19-6所示。电子的动量为 ， 为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得
已知
可解得
电子从点运动到所需时间为
（2）当观察者相对于沿方向以速度运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得
图复解 19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向电子A入射光子和散射光子的动量分别为 和 ，方向如图复解19-6所示。电子的动量为 ， 为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得
六、（20分）两惯性系S′与S初始时刻完全重合，前者相对后者沿z轴正向以速度v高速运动。作为光源的自由质点静止于S′系中，以恒定功率P向四周辐射（各向同性）光子。在S系中观察，辐射偏向于光源前部（即所谓的前灯效应）。
1．在S系中观察，S′系中向前的那一半辐射将集中于光源前部以x轴为轴线的圆锥内。求该圆锥的半顶角α。已知相对论速度变换关系为


式中ux与ux′分别为S与S′系中测得的速度x分量，c为光速。
2．求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量。
先求两惯性系中光子速度方向的变换关系．根据光速不变原理，两系中光速的大小都是C．以 和 分别表示光子速度方向在和系中与 和 轴的夹角，则光速的 分量为
再利用相对论速度变换关系，得
系中光源各向同性辐射，表明有一半辐射分布于
的方向角范围内， 系中，此范围对应 ．由上式求得
可以看出，光源的速度v越大，圆锥的顶角越小．
系中，质点静止， 在时间内辐射光子的能量来自质点静能的减少，即
式中 为时间 内质点减少的质量
S系中，质点以速度v匀速运动，由于辐射，其动质量减少 ，故动量与能量亦减少．转化为光子的总动量为 ，即
转化为光子的总能量为
即
系中光源静止，测得的辐射时间 为本征时，在系中膨胀为
由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的总动量与总能量分别为
平行平面膜反射
反射条件