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奥赛典型例题
分析(振动和波)
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1.如图1所示的振动系统，轻弹簧的劲度系数为k，滑轮的质量为M，细线与滑轮之间无摩擦，两个小物块的质量分别为m1和m2，m1> m2，试求滑轮的振动周期.
M
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由上一两个方程可解得
天花板所受的拉力为
这表明原来系统对天花板的作用与图3物体M′ 对天花板的作用等效，只要M′取值为
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所以，系统的振动圆频率为
系统的振动周期为
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2.如图2所示，物体的质量为m，用弹簧悬挂吊于水平轻杆上，杆的一端与光滑铰链相连，另一端用弹簧悬挂，已知k1、k2、m及尺寸a、b，试求物体m的振动周期.
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设当m处于平衡位置时，弹簧1、2的伸长量分别为∆l10和∆l20,则
建立ox轴，如图所示，当杆转过一个微小的角θ时，
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由(5)、(7)式消去θ可得
由这方程可知m的振动圆频率为
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3.如图3所示，质量为m的小球C由细绳AC和BC共同悬挂，已知AC＝l，BC＝2l，∠ACO＝∠BCO＝30º,试求小球C在垂直纸面方向上的微振动周期.
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方法1：以A为等效悬挂点
于是小球C在垂直屏幕面方向上的微小摆动的周期为
方法2：以AB线与CO线的交点O'为等效悬挂点
则等效摆长l'为CO'，根据几何关系可求得
那么小球m的微振动周期为
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4.半径为R的轻圆环上固定两个质量相同的小重物，在环上与两个小重物距离相等的O处钻一小孔，将这小孔穿过墙壁上的光滑小钉而把圆环挂起来，使圆环可以在竖直平面上作微振动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表示，如图4所示，试求圆环微振动的周期.
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用能量法求周期
设摆的质心C能上升的最大高度为hCm，则据机械能守恒定律有
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在平衡位置时，质心C据悬挂点O的距离为
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5.如图5所示，在水平光滑桌面的中心有一个光滑小孔O，一条劲度系数为k的细弹性绳穿过小孔O，绳的一端系于小孔O正下方地面的A处，另一端系一质量为 m的小物块，弹性绳的自然长度等于OA，现将小物块沿桌面拉至B点处，OB＝L，并给小物块一个与OB垂直的初速度v0沿桌面射出，试求：
(1)小物块绕O点转过90°到达C点所需要的时间; (2)小物块到达C点时的速度及CO的长度.
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(1)据胡克定律，质点在其运动轨迹上任一位置处所受弹力的大小为F＝kr,其中r为质点所在位置与原点O的距离,也是弹性绳的伸长量.
可见，质点在x方向和y方向都作简谐振动.平衡位置都在原点，振动圆频率都是
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质点从起始位置B绕O点运动到C点，对于x方向的简谐振动来说，质点是从最大位移的位置运动到平衡位置的，恰好经历了1/4T,所以
(2)在x方向上，质点作简谐振动，利用如图3所示的参考圆，可确定其振幅和初相:
于是其在x方向的简谐振动方程为
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因质点经t=T/4时间到达C点，故在C点处，有
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6. 三根长为l＝2.00m的质量均匀的直杆构成一个等边三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一
电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图6所示，现观测到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试证明松鼠的运动应是一种什么样的运动.
(96年13届预赛题)
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那么，玩具松鼠也必然受到一个向右的大小等于F的力F'的作用.
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由此可见，玩具松鼠的运动必然是简谐振动.
其振动周期为
因玩具松鼠到达AB导轨两端时应反向它的，所以其振幅不能大于1/2l,即
由以上论证可知，玩具松鼠在导轨AB上的运动是以AB中点为平衡位置，振幅不大于1米，周期约为2.64s的简谐振动.
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7. A是某种材料制成的小球，B是某种材料制成的均匀刚性薄球壳，假设A与B的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的. 已知球壳质量为m，内半径为r，放置在水平无弹性的桌面上，小球A的质量也为m，通过一自然长度为r的柔软弹性绳悬挂在球壳内壁的最高处，且有kr=9mg/2，k为弹性绳的弹性系数. 起初将小球A拉到球壳的最低点，如图7所示，然后轻轻释放，试详细地、定量地讨论小球A以后的运动. (92年第9届预赛题)
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设任一时刻，小球A偏离平衡位置，其坐标为x，那么它所受的回复力为
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所以小球的振幅为
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此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球A作竖直上抛运动. 小球上升的最大高度不能超过r，故当小球A上升高度为r时，其速度大小为v，有
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这表明小球A将与球壳相碰，由于两者质量相等，且碰撞为弹性碰撞，所以，A与B交换速度，B竖直上抛，而小球A则自由下落. B能上升的最大高度为
此后，B自由下落. 而当B 上升到最大高度时，小球A的下落高度为
这表明此时绳子仍未拉紧.
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这表明经历时间t，绳子将被拉直，此时小球A回到球壳的球心O点，球壳B则经历一升一降，又回到原来位置，并与桌面作完全非弹性碰撞而静止. 此时小球A的速度为
此后在绳子作用下又作简谐振动. 其振动方程为
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所以小球A向下运动时不可能与球壳相碰，这是预料中的事，因球壳B与桌面的碰撞是完全非弹性碰撞，能量有所损失. 故球壳B将一直静止下去.
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由图2所示的参考圆可知，小球A从O点下落再回到O点需时间为
接着，小球A又做竖直上抛运动，上抛的初速度大小为
到最高点时速度为零，故小球A只是与球壳轻轻接触而不发生碰撞，然后又落回，球壳B则保持静止. 小球A从上抛到回到O点需时间为
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此后，球壳B一直保持静止，而小球A则作简谐振动→竖直上抛运动→简谐振动→竖直上抛运动→简谐振动…这样的周期性运动，其运动周期为
小球A与球壳B的运动情况可以用下图来表示.
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8. 如图8所示，一只狼沿半径为R的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过岛边缘某点时，一只猎犬以相同速率v从岛中心O出发追赶狼，设在追赶过程中狼、猎犬、中心O三者始终在同一直线上，问猎犬应沿何种曲线追赶？它在何处可以追上狼？
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例8 解：方法一（解析法）：
因v、ω都是恒量，
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这表明在以ω转动的参考系来看，在r方向上，犬做简谐振动. 设其方程为
在静止参考系的固定坐标系o-xy中，在t时刻犬的坐标为
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由以上两个方程消去t得犬的轨迹方程
这是一个圆心在（0，R/2），半径为R/2的半圆. 这半圆与狼的轨迹圆的交点B就是犬可能追上狼的地方.
犬沿这半圆从O点到达B点需时间为
狼沿圆从A点到达B点需时间为
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方法二：猜想和证明法
开始时，犬在O点，狼在A点，犬的速度应该全是径向速度，而无需横向速度,速度方向应与轨迹相切，所以，犬的轨迹圆的圆心应在y轴上. 当犬在B点追上狼时，它们的速度方向应相同都与y轴垂直，犬的速度应该全是横向速度. 此时犬的速度方向也应与其轨迹圆相切，故轨迹圆的圆心也应在y轴上，由此可知犬的轨迹圆应是以OB为直径的圆. 下面再证明这个圆满足题目所给的条件.
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设犬到达D点时狼到达C点，连接犬的轨迹圆的圆心O'和D点，因圆心角是对应的弦切角的两倍，所以，∠DO'O=2θ.
则有犬在t时间内通过的路程为
又因狼的速率与犬的速率都是v，所以它们在相同的时间内通过相同的路程，所以，应有
则表明C'与C点重合，实际上是同一个点.
也就表明任何时候，O点和犬、狼都在同一直线上. 满足了题目所给的条件. 半圆O'确实是犬的轨迹.
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例9 解：
本题要求的是声波波线的轨迹，该波线与地面的交点就是地面上听得最清楚的地点.
据折射定律得
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由于声速沿y轴递增，折射角也逐渐增大，也即各层的入射角逐渐增大，到某一层入射角超过了临界角时，声波就会发生全反射而折回地面.
由(1)、(2)式及题设条件可得：
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由于中学未教积分，故采用下面方法来得到y与x的关系式.
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用微元法处理y的表达式来求斜率：
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由(6)式可见，在温度随高度y依题设条件递增的空气中向上传播的声波为一正弦曲线，声波传播的轨迹曲线与x轴的交点就是声波沿波线上扬下弯后重返地面处，此处闻声清楚，此处坐标满足：
取k=1，可得地面听得最清楚的地点与声源的距离为