振动
物体在平衡位置附近往返运动叫做振动，或机械运动
概念：振动
琴弦
晶格振动
钟摆
波是振动的传播，机械振动的传播即机械波。
振动并不限制在机械运动范围。交流电路中，电流与
电压围绕着一定数值往复变化，也是一种振动。
简谐振动 最简单、最基本的振动.
弹簧振子的振动
简谐振动
质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，则此位置称为平衡位置。若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称为线性回复力。
质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动，叫做简谐振动。
弹簧振子的运动分析
简谐运动的动力学方程
简谐振动的运动学
的解
由于
所以
也满足其运动规律。正弦和余弦
函数都是周期函数，因此简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。
简谐振动的判据
1.判断合外力（或合外力矩）与物体离开平衡位置的位移（或角位移）是否成F=-kx的形式。
动力学分析：
O
A
m
一 单摆
总指向 平衡位置
当 很小时，
令
思考:在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆,
角位移很小时,是否可以看成是简谐振动?
练习：
1.弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动
证 货轮处于平衡状态，如图（a)，浮力大小为F=mg，当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向，如图（b)所示，则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为
式中k=ρgS为常数，货轮作简谐运动
[例3]如图(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率。
将式（1）代入式（2）得
讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及
振动的频率均不产生影响。
（1）周期、频率和圆频率
物体做简谐振动周而复始完全振动一次所需的时间叫做简谐振动的周期。
余弦函数的周期为 ,故
即
对于弹簧振子，
对于单摆，
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
(2)振幅
物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值
叫振幅。
(3)相位和初相位
为了明确简谐振动任意时刻的运动状态，即任意瞬时
的位移和速度，必须清楚以下一些系数
我们把时间t的线性函数 叫做简谐振动的
相位， 为初相位。
初相位由初始条件决定，
任意两式可以决定初相位
例：质点按 做简谐振动，求相位
等于 ，这些瞬时质点的运动状态如何？
例：P291，例题2
两同频简谐振动相位差为零或2π的整数倍，振动步
调相同；好像行军时人人手臂同步挥动；若相位差是π或
Π的奇数倍，就好像一人走路时两臂朝反相的方向前后
摆动。
例：P292，例题3
已知
求
图
简谐振动的x-t图线和相轨迹
质点坐标和速度建立的坐标系，称为相平面。其上一点
给出质点在某时刻的运动状态；随时间的推移，质点运
动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹
或相图。
相轨迹为椭圆
旋转矢量
自Ox轴的原点O作一矢量 ，使它的模等于振动的振幅A ，并使矢量 在 Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度 与振动频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量.
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.
以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.
用旋转矢量图画简谐运动的 图
相位差：表示两个相位之差
（1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间．
（2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异（解决振动合成问题）.
例1 一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振幅为0.08 m，周期为4 s，起始时刻物体在x=0.04 m处，向ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；
已知
求（1）
（2）由起始位置运动到x = -0.04 m处所需要的最短时间.
法一 设由起始位置运动到x= -0.04 m处所需要的最短时间为t
法二
起始时刻
END
解 （1）
解
例题1 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求1、振动方程。2、t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度。3、如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解：
设简谐振动表达式为
已知： A=12cm , T=2s ，
x= A cos (t+ )
x=0.12 cos (t +  )
初始条件：
t = 0 时， x0 = 0.06m , u0 > 0
0.06 =0.12 cos 
振动方程：
设在某一时刻 t1， x = -0.06 m
代入振动方程：
例2. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。
解：
（1） 动能
(以弹簧振子为例)
O x X
§9.3 简谐振动的能量转换
（2）势能
线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒.
O x X
（3）机械能
简 谐 运 动 能 量 图
简谐运动能量守恒，振幅不变
[例1] 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求：
（1）振动的周期；
（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
已知
；(2)
求:(1)
已知
；
(4)何处动势能相等?
求:(3)
[例2].当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？
解：
[例3]. 有一水平弹簧振子，k=24N/m，重物的质量m=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程。
解：
依题意，有：
选取坐标如图，
一 、两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与两独立的同方向、同频率的简谐振动：
§9.4 简谐振动的合成
1. 分振动 :
2. 合振动:
结论：合振动 x 仍是简谐振动
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为同频率的简谐运动
（1）相位差
（2）相位差
加强
减弱
小结：
二、两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
方法一
不论A调达到正最大还是负最大，对加强振幅来说都是
等效的，因此拍的圆频率应为调制频率的2倍
方法二：旋转矢量合成法
三、 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成
质点运动轨迹
（椭圆方程）
用旋转矢量描绘振动合成图
两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图
三 多个同方向同频率简谐运动的合成
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动