波动光学与量子理论拾零
人类对光的本性的认识进程
——光是从光源发出的高速直线运动的弹性微粒流
解释光的直进性
解释光的反射定律
解释光的折射定律
解释几束光互相交叠穿越的现象
——光是光源的某种机械振动以波的形式在“光以太”中的传播
光的干涉、衍射现象及水中光速的测定支持了波动说
介质
？
解释光的直进性
解释光的反射定律
解释光的折射定律
解释几束光互相交叠穿越的现象
——光是一种电磁波
——光是一份一份不连续的能量（光子流）
——光既有波动性的一面，又有粒子性的一面
解释
干涉规律
电磁波
衍射规律
粒子性
波粒二象性
Ⅰ
Ⅱ
N
O
入射光线
折射光线
折射定律
返回
？
光的干涉
发生稳定干涉的条件——频率相同、相差恒定
现象——振动加强与减弱的区域确定
预期的光干涉现象——稳定的明（振动加强）、暗（减弱）相间的条纹
让两个频率相同的“相干光源”发出的光在同一空间叠加，用屏在叠加区域接收。
◎ 观察红色激光的双缝干涉图样
◎ 双缝干涉图样特征
有明暗相间的条纹
条纹间距相等
光到达的范围比“直线传播”时大
◎ 干涉条纹的成因及分布规律
光程差等于波长整数倍时，两列光波叠加加强——明条纹
光程差等于半波长奇数倍时，两列光波叠加减弱——暗条纹
成因及分布规律
示例
分波前干涉
把来自单一频率光源的同一波前设法分开（子波）并造成光程差从而引起干涉.
分振幅干涉
利用同一入射光波的振幅（光强）通过两个表面的先后反射加以分解且形成光程差而引起的干涉.
规律
S1
S2
S
P 中央亮纹
Q1第1暗纹
Q1 第1暗纹
P1第1亮纹
P1第1亮纹
成因
P
S1
S2
O
x
θ
r1
r2
d
能观察到干涉条纹的情况下θ总是很小，则
Q
规律
返回
菲涅尔双棱镜干涉
A
S
A
S
分波前干涉示例1
S
M1
M2
r
C
r
菲涅尔双镜干涉
分波前干涉示例2
返回题5
下例
洛埃镜干涉
S
M
若S与平面镜距离为d,与屏距离为D,则
分波前干涉示例3
S
O
O
f
f
将焦距为f凸透镜切分成上下两半，沿主轴拉开距离f，如图所示，点光源S置于透镜主轴上离左半个透镜f处，该装置可演示两束光的干涉现象．画出点光源S经上、下两半透镜后的光束，并用斜线画出两束光发生干涉的区域．
分波前干涉示例4
S1
S2
O
如图所示双缝干涉实验中
A. 若把单缝S从双缝S1、S2中心轴位置稍微上移，屏上中央亮纹位置略下移

B. 若只减小双缝S1、S2间的距离，条纹间距将增大

C. 若只在两条狭缝与屏之间插入一块两面平行的玻璃砖，条纹间距将减小
D. 若只把红光照射改用绿光照射，条纹间距将增大
分波前干涉示例5
本题答案: ABC
⑴狭缝的宽度设为d，由
易得
在杨氏干涉实验中，波长为600 nm的单色光垂直射到两个
非常靠近的狭缝．光屏离双缝的距离为1.00 m，在光屏上中心峰值与第10条亮线
的距离是300 mm．试求 ⑴狭缝的宽度； ⑵当将一厚度为0.02 mm的透明薄膜放
到其中一个狭缝上时，光屏上的中心峰值移动了30 mm．试求薄膜的折射率．
小试身手题3
⑵当将一厚度为0.02 mm的透明薄膜放到其中一个狭缝上时:
O1
y
中央亮纹应满足
代入数据有
⑵干涉区AB长度约为
屏上AB中间有一明纹，上、下两边各有一明纹，共出现三条明纹．
从光源发出的光经平面镜M1、M2反射后，产生明条纹的条件是
⑴由
光路图
S
由几何关系得
如图所示，一个会聚透镜的直径D＝5 cm，焦距f＝50 cm．沿其直径分成两半，再分开相距d＝5 mm，点光源S到
透镜距离u＝1 m．作图并计算离透镜多远处可以观察到干涉条纹？（透镜两半之间空隙被遮盖）
小试身手题4
返回
S1
S2
薄膜干涉
等厚干涉
本题答案: C
如图所示，用干涉法检查工件表面的质量，产生的干涉条纹是一组平行的直线．若劈尖的上表面向上平移一小段距离，如图所示，则干涉条纹
A. 间距变大，略向左移 B. 间距变小，略向右移
C. 间距不变，略向左移 D. 间距不变，略向右移
薄膜干涉示例1
b
a
凹
专题25-例2
设c与a、b钢珠直径相差Δx，相邻两亮纹间距离为d/8，有
代入数据有
薄膜干涉示例2
用平面验规（玻璃样板）来鉴别轴承用钢珠的直径，以便分类．
钢珠a、b是合乎标准的，钢珠c则略小一些．将它们放在两块样板之间并用
λ=0.58 μm的汞灯的黄光照射，发现a、b和c之间出现9个亮条纹．问钢珠c比标
准尺寸小多少？如果变更距离d，条纹数会有变化吗？
变更距离d，薄膜楔顶角变化，条纹数变化．
；
相邻两明纹间距
由题给条件，
．
如图所示，为了测量金属丝的直径，把金属丝夹在两块平玻
璃板之间，使空气层形成劈尖．如用单色光垂直照射，就得到等厚干涉条纹．测
出干涉条纹间的距离，就可以算出金属丝的直径．某次的测量结果为：单色光波
长λ＝5893，金属丝与劈尖顶点间的距离L＝28.880 mm，30条明条纹间的距离
为4.295 mm，求金属丝的直径D．
小试身手题6
如图所示，在一块平玻璃片B上，放一曲率半径为R的平凸透镜A，在A、B之间形成空气薄层，当平行光垂直射向平凸透镜时，可以观察到透镜表面出现以接触点O为中心的许多同心环，称为牛顿环．
　⑴确定形成牛顿环的明、暗环处空气层厚度e适合的条件，入射光波长为λ；
　⑵确定明、暗环的半径r．
⑶在接触处是明纹还是暗纹？
小试身手题7
e
r
R
C
A
B
⑴形成牛顿环的明、暗环处，空气层厚度e应满足的条件为：
明环
暗环
⑵由图所示几何关系得：
明环半径
暗环半径
⑶考虑半波损失,在接触处是
暗斑
在白光下观察厚度为5.2×10-5 cm的透明薄膜，白光的入射角（即与平面法线的夹角）为31°，薄膜的折射率为1.35．试求在可见光谱（380 nm—780 nm）中，哪些波长的光将在反射中消失？并预测薄膜在反射光下颜色．
薄膜干涉示例3
如图，在反射中消失的光，是因为入射到薄膜上表面A点的光束，一部分被反射，另一部分折射入膜内，在下界面B处被反射并从上界面C点射出，光线DC也在C处反射，两光叠加减弱而致.
i
d
i
A
B
C
D
膜厚度d=520nm，造成两相干光的相差若满足下式，反射光将消失：
K=1时
K=2时
膜的颜色呈黄绿色
等倾干涉
如图所示，薄膜的两个界面OM和ON构成尖劈，尖劈的夹角θ较小，光源S离劈较近．证明光源S发出的光经界面OM和ON反射后产生的干涉条纹是以O为圆心、以r为半径的圆．
P1
O
r
P
S
M
N
A
B
P2
干涉条纹满足
明条纹是以O为圆心、半径为
的同心圆；
暗条纹是以O为圆心、半径为
的同心圆；
干涉条纹满足
小试身手题8
等倾干涉
为了减少玻璃表面反射光的成分，在玻璃表面上涂一层薄
膜，薄膜的折射率小于玻璃的折射率．当入射光包含波长λ1＝700 nm和λ2＝420 nm情况下，为使这两种波长的反射光波最大限度地减弱，在玻璃表面涂有折射率为n＝4/3的薄膜．试求这种薄膜的最小厚度．
小试身手题1
对波长λ1＝700 nm的光，增透膜厚度应满足
对波长λ2＝420 nm的光，增透膜厚度应满足
为使增透膜厚度同时满足两光，有
薄膜厚度最小且玻璃表面反射光最大程度地减少
如图所示，在玻璃基底上涂两层薄膜，它们的厚度分别用t1和t2表示．空气，两层膜以及玻璃的折射率依次为n0，n1，n2，n3，且满足n0＜n1＜n2＞n3．波长为λ的单色光垂直入射，已知在三个界面处反射后所得三束光振幅相等．为了使反射光的总强度为零，必须适当选择所涂薄膜的厚度t1和t2．试求t1的最小值，以及t1取上述最小值时t2的最小值．
反射光1
入射光
反射光2
反射光3
三束反射光相位关系满足
专题25-例1
i
d
i
膜厚度须满足两束光的相差为2kπ:
要d为最小，k取０，故
一束白光以角i=30°射在肥皂膜上,反射光中波长为λ0=500 nm的绿光显得特别明亮,问肥皂膜的最小厚度为多少？从垂直方向观察，薄膜呈什么颜色？肥皂薄膜液体的折射率n=1.33.
对垂直入射光,在k=0时,极大加强波长满足
呈黄绿色
小试身手题2
返回
光的衍射
观察到明显衍射现象的条件——孔、缝、障碍物尺寸与波长差不多
现象——振动传递到“直线传播”到达区域之外
预期的光衍射现象——光到达的范围变大了
由于可见光波长数量级为10-7m，故孔、缝、障碍物尺寸应足够小
◎ 单缝衍射
有明暗相间（不均匀）的条纹
现象
光到达“直线传播”时的影区
◎ 圆孔衍射
有明暗相间的圆环
现象
圆环分布面积超过“直线传播”时的光斑面积
◎ 圆盘衍射
现象
阴影的中心有一个圆亮斑
有明暗相间的圆环
光离开直线路径绕到障碍物背后去的现象叫光的衍射
惠更斯原理
解释衍射现象
干涉相消（暗纹）
波带法解释衍射规律
中央明纹中心
零级最大与1级最小间满足
光衍射现象是光的波动说成立的实验基础之一
由于光是一种波，衍射是基本属性，只是明显与否，直进是光衍射的极限现象，
月晕与日晕
衍射光栅
光学仪器的分辨率
实景
规律
返回
请把两支笔杆并在一起构成一个约0.3 mm的狭缝，使狭缝距离上图约30 cm，并与上图中的横线平行．眼睛紧靠狭缝，通过狭缝，你看到的图样是下图中的哪一个？
衍射问题示例1
恰能分辨两物点，至少应使两物点之衍射图样中心间的距离等于中央亮斑的半径，这个条件被称为
瑞利准则
光学仪器分辨率问题
望远镜的最小分辨角
人眼的最小分辨角则为
望远镜与人眼相比，其分辨率与人眼分辨率的倍数为
如图所示，一天文望远镜的物镜直径为2.5 m，试求能够被它分辨的双星对它张开的最小夹角，设入射光的波长为550 nm．若人眼瞳孔的直径为2.5 mm，求该望远镜与人眼相比，其分辨率是人眼的多少倍？
专题25-例3
在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120 cm，试问汽车离人多远的地方，眼睛才可以分辨这两盏前灯？假设夜间人眼瞳孔直径为5.0 mm，入射光波长λ=550 nm，并假设这个距离只取决于眼睛的圆形瞳孔处的衍射效应．
小试身手题9
根据瑞利准则，人眼圆形瞳孔的分辨角
当汽车离人L距离时对人眼瞳孔的张角
在一位近视眼朋友不戴眼镜时，能看清的物体都在距眼睛a=20cm以内，他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一个有小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼睛看远处的物体时也能看得清晰些．⑴若小圆孔直径为D，试根据几何光学原理求出当近视眼直视远处的一个物点时，眼的视网膜上产生的光斑的直径．⑵再考虑小圆孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小．计算时可取可见光的平均波长为600nm．
衍射问题示例２
人眼是一个结构比较复杂的光学系统，在本题中，可将人眼简单化成一个焦距f可调的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜的边缘为瞳孔，两侧介质均为空气，视网膜与透镜的距离为b．
物距为a，像距为b，得近视者眼的焦距：
通过小孔直视远处物点，实际是在视网膜上形成光斑
物通过小孔发生衍射时，在视网膜上形成中央亮斑
圆孔的恰当直径D0要满足
返回
光的电磁说
——光在本质上是一种电磁波
可见光
波长在400nm——770nm的电磁波
自由电子周期性运动
原子外层电子受激发
原子内层电子受激发
原子核受激发
光的偏振
偏振是横波特有的现象
成因
在波传播方向所带有狭缝的挡板，当狭缝方向与振动方向一致时，振动能穿过狭缝继续向前传播
光的偏振现象
自然光
——光矢量对于光传播方向对称而均匀分布
z
部分偏振光
自然光的矢量描述
偏振光的矢量描述
完全偏振光
S
n1
n2
O
M
当反射光与折射光互相垂直时，在反射光中只有垂直于入射面的振动，而平行于入射面的振动变为零，即反射光成为完全偏振光，这时的入射角叫全偏振角，以i0表示。
全偏振角
关于光的偏振，下列说法正确的是
A.通过一块偏振片就能使自然光成为偏振光
B.用一块偏振片就能使说明光具有偏振现象
C.光的偏振现象表明光是横波
D.自然光经反射后也具有偏振性质
光的偏振示例1
⑴用于观察水面下物体的是________
⑵用于观察电脑显示屏防止左右两侧
灯光干扰的是_______
⑶用于看立体电影的是______
a
b
c
光的偏振示例2
自然光对水面的入射角i为全偏振角：
自然光经水面折射后折射角r由折射定律
进入玻璃的折射光对玻璃的入射角i′应满足
如图所示，一块折射率为n3=1.50的平行玻璃板浸在水中，一束自然光入射到水面上时，反射光是完全偏振光．现要使玻璃表面的反射光也是完全偏振光，试问玻璃表面与水平面的夹角θ应为多大？水的折射率n2=1.33．
专题25-例4
如图所示是可把入射的自然光分成两束传播方向互相垂直的偏振光的偏振分束器结构，两个等边直角玻璃棱镜斜面对斜面，之间夹一多层膜，多层膜是由高折射率的材料硫化锌与低折射率材料冰晶石交替镀制而成，设高折射率为nH，低折射率为nL，自然光以角入射到多层膜上．⑴为使反射光为完全偏振光，玻璃棱镜的折射率n应取多少？⑵为使透射光的偏振度最大，高折射率层的厚度tH与低折射率层的厚度tL的最小值是多少？⑶若两材料折射率依次为nH=2.38与nL=1.25．对于波长λ=514.5nm的激光以45°角入射到多层膜上，试求tH、tL的最小值．
小试身手题10
自然光
透射光
反射光
多层膜
解答
nL
nH
tH
tL
n
n
⑴在多层膜中连续折射，由连续折射规律，有
某相邻两层的光路中要使反射光为完全偏振光，应有
⑵为使透射光的偏振度最大，应增加垂直方向光的反射，即利用干涉原理，使两相邻界面反射光叠加加强，故应满足
(对高折射率层)
(对低折射率层)
读题
取k1=0，k2=1，最小厚度为
⑶代入数据得
读题
返回
光的粒子性例证之一:
光电效应
对各种金属都存在着极限频率和极限波长，低于极限频率的任何入射光,强度再大、照射时间再长都不会发生光电效应．
光电子的最大初动能与入射光的强度无关，只随入射光频率的增大而增大．
只要入射光频率高于金属的极限频率，照到金属表面时光电子的发射几乎是瞬时的，不超过10-9 s．
发生光电效应时，光电流的强度与入射光的强度成正比．
一份光子能量
由爱因斯坦光电效应方程:
斜率:h
截距:-W
用不同频率的紫外线分别照射钨和锌表面而产生光电效应,可得到光电子的最大初动能Ek随入射光频率ν变化的图线,已知钨的逸出功是3.28 eV,锌的逸出功是3.34 eV,若将两者的图线画在同一坐标系中,实线表示钨,虚线表示锌,则正确反映这一过程的是下图中的
O
Ek
ν
O
Ek
ν
A
B
C
D
光的粒子性示例1
如图所示，N为钨板，M为金属网，它们分别与电池两极相连，各电池的电动势E和极性已在图中标出，钨的逸出功为4.5 eV，现分别用能量不同的光子照射钨板（各光子的能量已在图上标出），那么下列图中不能到达金属网的是
光的粒子性示例2
选项A
选项B
选项C
选项D
无光电子逸出
可加速到达正板
可减速到达正板
到达正板前已减速为零
A
B
C
D
光的粒子性示例3
如图所示，两块平行金属板A、K相距d，其中K为锌板，受紫外线照射发射出光电子（向不同方向运动），于是电流表G有示数，若调节R，逐渐增大板间电压，当电压表示数为U时电流表恰无示数。打开S，切断电源，在A、K间加垂直向外的磁场，当磁感应强度为B0时电流表示数也为零，求电子比荷。
当电压表示数为U时电流遏止,则
平行金属板间加磁场时光电子轨道半径由
后电流表示数为零
K
A
G
R
光的粒子性例证之二:
康普顿效应
X射线通过物质散射后，有些散射波的波长变大的现象，叫做康普顿效应。
波动说解释
光子说解释
散射光的频率、波长应不变
与实验事实相符
光的粒子性例证之三:
光压
理论
例解
入射光子的动量
散射光子的动量
被碰电子的动量
由动量守恒：
由能量守恒：
由电子质量与速度的相对论关系：
康普顿效应
返回
单位时间单位面积上入射光能量为
则入射光法向动量
反射光法向动量
由动量定理，压力F有
同理，切向力T为
频率为 的光，射到一平面镜上，设单位时间内到达镜面单位面积上的入射光光子数目为n，平面镜的反射率为r，光对平面镜的入射角为θ．试求：⑴光对平面镜的压力；⑵光作用在平面镜上的切向力．
专题25-例5
在康普顿散射实验中，静止的电子被能量等于一个电子静止质量对应能量的光子轰击．对于散射的光子和反冲的电子有相同大小的动量的情况，确定它们之间的夹角，并求反冲电子的速度．
小试身手题12
入射光子的动量
散射光子的动量
被碰电子的动量
由动量守恒：
由能量守恒：
由电子质量与速度的相对论关系：
F引
F光
光照射到物体上将产生光压，设想利用太阳的光压将物体送到太阳系以外的空间去．当然这只有当太阳对物体的光压超过了太阳对物体的引力才行．现如果用一种密度为1 g/cm3的物质作成的平板，它的刚性足够大，则它将能够被太阳光的压力送出太阳系．试估算这种平板的厚度应小于多少？取大气层外太阳的能量密度P0=1.4×103 J/m2·s，日地距离为1.5×1011 m．
小试身手题11
被太阳光的压力送出太阳系的临界条件是
光子能量
光压是大量光子碰撞引起的,由动量定理
如图所示，在真空中有一个折射率为n（n＞n0，n0为真空的折射率）、半径为R的质地均匀的小球．频率为ν的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为l（l＜r），光束于小球表面的C点经折射进入小球（小球成为光传播的媒质），并于小球表面的D点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射过程中保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．
光的粒子性示例4
解答
O
B
C
D
E
R
l
p入
p出
Δp
两次折射中，光子动量变化相同，入、出射光子动量大小
出、入射光子动量方向改变δ，
由矢量关系得：
动量变化历时为t：
由动量定理可得：
读题
如图所示，一透明玻璃半球半径为R，质量为m，折射率为n，半球外介质折射率为1．一单色平行环形激光束沿竖直方向向上均匀射向半球平表面的正中央部分，激光束的圆环半径δ远小于R，玻璃半球和激光束均以z轴为对称轴．玻璃半球不吸收任何激光，玻璃球表面已经光学涂料处理，因而入射光及出射光在平面与球面的反射可不计，激光在光学涂料中的光程也可忽略．求为平衡玻璃半球的重力所需的激光功率P．
光的粒子性示例5
续解
设该激光束单位时间内入射到单位长度上的光子数为η0，则激光束的功率
该激光束单位时间内入射到单位长度上的光子的动量
单位时间内单位长度出射光子的竖直动量
由动量定理，这部分光子对玻璃半球引起的竖直方向的冲力
整个激光束对玻璃半球的竖直方向作用力为
读题
在题给δ远小于R条件下
返回
光的波粒二象性
光的波动性意指光是表明大量光子运动规律的一种概率波
光在与物质作用中表现出粒子性
一般说来，大量光子产生的效果往往显示出波动性，个别光子产生的效果往往显示出粒子性
物质波(德布罗意波)
由德布罗意波波长与动量的关系,电子的动量
电子显微镜的电子波长为0.0164 nm,试估算所需电子动能的最小值 及加速电压．
专题25-例6
则电子的动能
可知加速电压为
宏观物体与微观粒子的行为方式
宏观物体运动的位置和动量是可确定的,可由现在预知未来.
微观粒子的行为是统计的,是一种概率,具有可以量化的不确定性.
位置不确定量与速率不确定量
时间不确定量与能量不确定量
例解
规律
A
B
屏
p
D
不确定关系
返回
电子枪发射的电子束，打到荧光屏上形成一个亮点，亮点的大小和限制电子束的小孔直径有关．小孔较大，亮点自然也大，小孔很小，又会出现电子衍射现象，亮点也会变大．现设电子束的能量为150 eV，屏与孔相距1 m．试近似求出使屏上光点最小的孔的直径．
专题25-例8
从小孔中射出的电子束，当孔的直径比电子的德布罗意波长大得多时，可认为电子束是直线进行的，这时，屏上的亮斑与小孔直径一样大．（不考虑电子间斥力造成的离散）
当小孔的直径小到与电子的波长可比拟时，通过小孔的电子将发生衍射．在屏离孔很远的情况下，可认为电子入射速度与孔平面垂直.
根据不确定关系：
其中
亮点的直径可表示为
由基本不等式性质
放射性同位素 的衰变时间为2.4 min，试求它的能量的不确定性
专题25-例9
海森伯的不确定关系不仅将具有波粒二象性的量子系统的位置与动量联系起来，而且也把系统的其它运动参量加以联系，其中最有用的是能量的不确定性ΔE与时间的不确定性Δt之间的联系，能量与时间的不确定关系是
粒子发生衰变，半衰期即状态变化的时间为2.4 min，那么确定这个粒子能量的最大精确度为
当系统在长时间内处于一确定状态,能量可高精度确定
当系统在很短时间内处于一确定状态,能量成为不确定
如图所示，将炉子中的一群原子加热到某一温度T，并让这些原子沿水平方向通过炉子侧面上一个直径为D的小孔射出（D的尺寸与原子尺度相当），从而形成一束原子束．当这束原子行经水平长度为L的距离时，估算这束原子束的直径．设原子的质量为M．
小试身手题17
原子的平均动能

原子的动量
当小孔的直径D与原子的波长可比拟时，通过小孔的原子将发生衍射．在离孔L距离处原子束直径估计为D估

根据不确定关系：
某些基本粒子的静止质量对应的能量具有不确定性约200 MeV，试求这些粒子的寿命．
小试身手题18
由能量与时间的不确定关系：
⑴设子弹的质量为0.01 kg，枪口的直径为0.5 cm，试求子弹射出枪口的横向速度的不确定量；⑵实验测定原子核直径数量级为10-14 m，估算电子若被束缚在原子核内时的动能，从而判断原子核由质子和电子组成是否可能．
小试身手题19
⑴子弹出枪口位置的不确定量为D=0.5 cm，
由不确定关系：
⑵电子在原子核中位置的不确定量Δr=10-14m
由不确定关系：
电子动能
电子具有巨大的动能，不可能被禁锢在原子核内!
设实验室所测m克碳中，14C原总数N，由衰变公式
活体的m克碳中，14C总数N0，
古生物死亡T年内由N0衰变为N，则
在大气和有生命的植物中，大约每1012个碳原子中有一个14Ｃ，其原子半衰期τ，其余均为稳定的12Ｃ原子．考古中，可通过测定古生物中14Ｃ的含量来推算生物的年代．如在实验室中测得在m克的碳中，在t年时间中有n个14Ｃ原子发生衰变，设此古生物是在T年前死亡的，试列出能求出T的式子．
小试身手题13
新的粒子在任意方向磁场中都不偏转，说明是中性粒子，现设质量为m，在与含氢物质中的静止氢核对心弹性碰撞中，由动量守恒得 :
在与含氮物质中的静止氮核相碰撞中亦由动量守恒得
由上两式得
中子
讨论一个由μ－子和氦核组成的类氢离子，μ－子的质量为电子质量