中学生物理竞赛试题
（电磁学部分）
EM-1
解答：
（1）平衡位置：
（2）稳定性：
（2）稳定性：
（3）简谐振动周期
EM-2
解答：
17
第29届预赛试题
EM-3
第27届复赛试题
EM-4
EM-5
EM-6
第30届复赛试题
2012国际物理奥赛
EM-7
2012国际物理奥赛
EM-7
以下信息有助于解答此题。液体中的分子更喜欢呆在液体中而非气液界面处。气液界面处具有表面能U = σS，其中S是界面的面积，σ是表面张力系数。液体表面的两部分间具有相互拉力 F = σl, l是分隔两部分的直线长度。
Part A. 一个管子
一个内直径为d的长金属管垂直朝下放置，如图所示，可导电的水从其下端喷嘴处缓慢滴落。水的表面张力系数是σ，密度是ρ。有一个半径为r的水滴挂在喷嘴处，其半径随时间慢慢增加直至重力（加速度g）作用下水滴从喷嘴处分离。假设d ≪ r.

i)推导水滴脱离喷嘴前的最大半径rmax

ii）假设相对无穷远处，金属管的静电势能为φ，推导当水滴半径为r时所携带的电荷Q。

iii）假设r固定而φ缓慢增加，水滴将变得不稳定并当其内部水压小于外界大气压时分裂为小水滴。推导此临界电压φmax
Part B. 两个管子

卡尔文滴水起电机由两个A部分中所述管子构成，如图所示。两管的下端喷嘴位于两个圆柱形（高为L，半径为D，L ≫ D ≫ r）电极中。各管中水滴速率为单位时间n滴。水滴从高度H处下落到与电极交叉相连的导电桶内。同时两个电极间连接一个电容为C的电容器。初始时系统为电中性，但是由于最初下落的水滴带有微量的电荷导致一段时间后两个电极间电荷分布不再均衡。

i)当电容器带电量为q时，推导从喷嘴下落的水滴带电量Q0（可利用rmax，并忽略A-iii中所述效应）

ii）寻找q随时间变化的函数q(t)，假设q(0)=q0

iii）起电机的工作可由于A-iii中所述效应而中断。并且电极两端最高电压受限于水滴与导电桶之间的静电斥力。据此推导最高电压Umax
第25届全国中学生物理竞赛复赛题(2008年9月)
39
EM-8
[解法一][原参考解答]如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间Δt内电流通过线圈因发热而损失的能量为

(1)
以ρ表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l表示铅丝的长度，则有
(2)
电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有
(3)
40
所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度ΔI，即电流变化的上限为 。由于导电电子的数密度是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为 v–Δv，对应的电流变化

(4)
导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为
(5)
41
由于ΔI<
(6)
铅丝中所有导电电子减少的平均动能就是一年内因发热而损失的能量，即
(7)
由(1)、(2)、(6)、(7)式解得
(8)
42
前式中

(9)
在（8）式中代入有关数据得
(10)
所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到
(11)
本题当时评分标准：本题22分.
(1)式、(3)式、(4)式各2分，(5)式10分，(7)式2分，(10)式3分，结论(11)式l分.
43
[解法二]如果电流有衰减，意味着线圈有电阻。电阻形成的机制是由于载流子即导电电子在导体中运动通过碰撞损失能量，我们可以唯象地将电阻的作用等效为一阻尼力fR。考虑截面为S长为l流以稳恒电流I的一段导体，Ohm定理给出
这也可视为电场力与唯象阻尼力fR的平衡，由此得到阻尼力的表达式
(1)
设导体的电阻率为ρ，则有
(２)
44
因此

该唯象阻尼力fR与导电电子的定向运动方向相反，使得定向运动速率逐渐减小。由Newton方程，在δt的微小时间里定向运动速率的变化满足
(4)
(３)
45
由于导电电子的数密度n是不变的，定向运动速率由v变为v+δv，对应的电流变化δI=neSδv ，或者

代入Newton方程(4)式得
(6)
在本题中，持续一年的时间内电流I的变化很小，其上限为ΔI=1.0mA<(7)
(5)
46
其中　　　 　　　　　。这样(5,6)式给出

也就是
(9)
此式与解法一所得结果相同，余下部分解答同解法一。
(8)
[讨论](6)式令δt→0，则
47

其中I0为初始电流，题意电流I经一年时间变化甚小，原因在于ρ很小。故经过一年时间Δt
因此
解此微分方程得
48

这与前结果相同。
由此得出
49
EM-9
解答：
EM-10
解答：
EM-11
第27届全国中学生物理竞赛决赛题
解答：
EM-12
第29届预赛试题
EM-13
EM-14
第30届决赛题
EM-15
解答：
EM-16
解答：
EM-17
解答：
EM-18
EM-19
第29届决赛题
2013国际物理奥赛
EM-20