高中物理竞赛培训——运动学部分
一、数形结合处理竖直上抛
对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理，物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理公式是
位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。
例题一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1）最多能有几个球在空中？（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？
分析：子弹同地出发，设第一颗子弹射出t后经后和另一颗子弹相遇，则另一颗子弹在空中的时间为t-n(n=1,2…)
方法一：位移相等法
子弹同地出发，空中相遇时位移相等，由竖直上抛规律可得
考虑到
则n=1,2,3,4,5时所对应t的为3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分别为第2，3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻
方法二：速率对称法
竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大小相等，方向相反
方法三：利用图象法
作出子弹的运动的s-t图
拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球，若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其它三球的高度
分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s
要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，
各球在手中停留的时间都是1/3s
学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。
分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。
如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于半高度的上方。
每个球空中的循球周期
上升的时间为
上升的高度为
每隔△t时间抛出一球，共有n个球,试求每个球到达的最大高度h
每个球从手中抛出后都是经过T=n△t的时间落回手中，经时间t=T/2= n△t/2上升到最高点，故最大高度
几何上的相似性不一定带来等价的物理原理上的相似性
例题：摄制电影时，为了拍摄下落物体的特写镜头，做了一个线度为1/49实物的的模型。放电影时，走片速度为每秒24张，为了使动画逼真，拍摄时走片速度应为多大？模型的运动速度应为实物运动速度的多少倍？
设实物在时间t内下落的高度为h,而模型用时间t0下落了对应的高度h0,,则由自由落体公式应有
利用的辅助条件
可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。
又设实物在某段时间△t内以速度υ通过位移△s，而模型与之对应的量则分别是时间△t0 、速度υ0 、位移△s0 ，由于有
最速路径：例题1
二、最速路径问题
何谓最速路径问题？
著名的“伽利略最速路径问题”：
伽利略的答案：圆弧曲线
（错误）
伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部分
（正确）
1
最速路径问题
寻找一条运动时间最短的路径
从两条路经中找出运动时间较短的一条
问题1、如图所示，地面上有一固定的球面，
球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到
球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨
道滑行到球面所历的时间最短。
分析：
先凭直觉猜一猜结果？
×
最速路径：例题1
先讨论
预备问题、 如图，地面附近有一空心球，过顶点P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。
P
证明：
任取一条轨道PQ，
PQ和水平面夹角为φ.
PQ的长为
下滑的加速度
所以
故对应任意轨道的时间均相同。
解原题：
P
以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q，
则线段PQ即为所求的轨道。
（1）作图确定线段PQ：
O
R
R
O’
关键是确定球心O’
过P点作竖直线AB, 且使AP等于R，连接A、O，作AO的中垂线与直线AP相交，交点O’即为所求的球心。
连接O’与O所得交点即为Q.
（2）证明线段PQ为所求：
略。
最速路径：例题1
题后总结
最后的作图方法较困难
本题还可以用分析法解答
接下来如何思考呢？
相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物线x2 =2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？此时AB与水平面的夹角满足什么条件？
焦点F（0、p/2)
AB的直线方程
渡河中的流速线性变化问题
例题：河流宽度为L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零，河中心流速为v0，一小船以恒定的相对速度vr垂直于流速方向，从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。
K如何定？
抛物线？
消去t,得到什么？
另一岸时，y=L
质点动态多边形的会聚问题
例题、A、B、C三个芭蕾舞演员同时从边长为l 的正三角形顶点出发，以相对地的相
同的速率v运动，运动中始终保持着A朝着B、B朝着C、C朝着A，试问经多少时间三人相
聚？每个演员跑了多少路程？
解：
三位演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？
在运动过程中三位演员的位置有什么关系？
三位演员作相同的匀速率曲线运动。
三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但诸三角形的边长越来越短。
最后三位演员在何处相遇？
三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三
角形边长缩短为零。
研究三角形的边长的变化情况，设法找出
三角形边长由l 缩短为零所用的时间！！
将从开始到相遇的时间t分为n份小量时间Δt：
设每经过Δt 的时间后三角形的边长依次缩短为：
……，
如图，依据小量近似有
故有
由此得
另解：
设经过某一小量时间Δt后，三角形的边长
由x变为x′.
如图，由余弦定理：
略去二阶小量得：
由此式来研究在Δt时间内三角形边长的缩短
量（x - x′）！进而找出缩短的速率！
由此式有
三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：
思考题1：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动，运动中始终保持1朝着2，2朝着3，……(n-1)朝着n,n朝着1,试问经过多少时间相遇？
思考题2：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？
光反射定律的类比应用
某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定律可使复杂的问题得到简单的求解。
例题、 如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15°夹角交于O点，小球在
OM的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30°角方向的初速朝ON杆运动，初速度
大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？
解：
小球作的是匀速折线运动。
M
N
P
O
l
300
150

而光线经镜面反射后的行进等效
于光线沿原入射方向的行进。
因此光线在两平面镜之间的不断
反射可等效为光线沿PP′直线传播。
可将小球的运动类比为光线在平
面镜M、N之间的反射。
因此光线能够沿原路返回到P点。
所以小球从P点出发到又回到P点，总的路程即为PP″=2PP′.
所经历的时间为
M
N
P
O
l
P’
300
150
P’’
题后总结
这种解法的实质就是将折线运动等效
变为直线运动从而使问题得以简化。
本题还有另一种常规解法：
1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰
2、确定在什么位置正碰
3、算出所有折线段的总长
4、计算时间
但这种解法需解三角形！！试一试，
看能否用此法解答。
拓展：如图的示，MN为竖直墙，平面镜OB绕O的垂直于纸面的水平轴以恒定的角速度ω转动，在墙上的A点发出一水平光线投射到OB上，并被反射到墙上D点。设∠AOC=θ,AO=d,求D的速度。
D的速度方向总是向上，大小则等于OD长度的变化率
θ
抛体运动中的边界和最值问题
例题：迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山。迫击炮到山顶的水平距离为a目标到山的距离为b。试求为击毁目标炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）
如何找到切入点呢？
思维的障碍在哪里？
小山？
消去t
要击中目标，满足什么条件？
说明什么？
当α为从0到π/2范围内的不同值时，得到所有的一切轨道。
接下去的转折点在哪呢？
当α为π/4时，标出的轨道为
在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上x=a这点的高度h1
例题：从离地面上同一高度h，相距L的两处同时各抛出一个石块：一个以初速度V1竖直向上抛；另一石块以速度V2水平抛出。求这两个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速度位于同一竖直平面内）
V1
V2
-V1
d
α
L
将曲线运动分割成的无限小曲线段处理为一小段圆弧，将质点在该小段圆弧上的运动视为一段圆弧运动。就可利用处理圆运动的方法来研究一般的曲线运动。
x
y
o
（三）曲率圆及曲率半径
1、曲率圆：平面光滑曲线某处的无限小圆
弧段所属的圆称为曲线该处的曲率圆。
2、曲率半径：上述曲率圆的半径即为曲线该处曲率半径。
曲线某处的曲率半径ρ能反映该 处的弯
ρ大处弯曲程度小，ρ小处弯曲程度大。对一条给定的曲线，其上各处的ρ也是确定的。
弯曲程度：
2、化曲为圆
如果知道质点轨道曲线各处的ρ,
又知道质点在轨道各处的v，则质点在各处的a心可求出。
（四）从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度
——表示速度大小的变化快慢
——表示速度方向的变化快慢
x
y
o
p1
p
曲率半径的物理求法（一）
让质点的运动轨迹为给定的曲线
确定质点在运动轨迹上各处的v和a心
由向心加速度公式求ρ
在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便得到曲线各处的v和a心
1
例题、试求椭圆 的顶点处的曲率半径.
解：
椭圆的参数方程为
所以可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：
在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.
这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的。
其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程。
x
y
0
A
B
在图中顶点A处：
所以
同理可得
于是有
题后说明
本题的解法属于物理运动学的求法。
曲率半径还有物理动力学的求法！
这将在以后研究。
例题、求滚轮线的最高点的曲率半径和ρ1最低点的曲率半径ρ2。
解：
o
P
为方便计，设轮子做匀速的纯滚动，
设轮心O相对地面的速度为v0 .
轮边缘上的任意一点P相
对轮心O的速度为多大？
P在最高点处相对于地面的速度大小为
P在最低点处相对于地面的速度大小为
P
P
P
o
o
o
o
P
v0
滚轮线最低处的曲率半径为
P
P
P
题后总结
曲率圆上某点处的向心加速度指的是相对于静止参照系且
指向曲率圆心的加速度;
一般而言，在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零.
在滚轮线的最高点处和最低点处，
故
o
o
o
曲率半径问题
例题：一条光滑的抛物线轨道，在直角坐标系中的方程为y2=2x,式中x、y的单位为米。有一质点从起始位置（2，2）无初速地滑下，问质点在何处离开抛物线轨道。
mg
r
θ
分析：设质点在M（x,y)处飞离抛物线，
如图所示,在光滑水平面上有质量为M且均匀分布、半径为R的圆环，质量为m的质点可在环内壁做无摩擦的滑动(M>m)。开始时，圆环静止，环心在O点，质点位于（0，R）处，速度沿x方向，大小为υo
（1）试导出质点的运动方程；
（2）试求质点运动轨迹转折处的曲率半径。
x
O
y
M
m
υ
0
O
y
M
m
质心的速度
m、M绕质心的角速度
求相关物体速度的一种有效方法---基点法
当刚体作平面运动时，其上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。因此我们也就有杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必有相同的沿杆、绳方向的分速度；接触物系触点速度的是相关特征是：沿接触面法向的分速度相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同。
依据物系相关速度特征，运用基点法，结合速度的合成法则、相对运动法则，这类问题便会迎刃而解。
【物理模型】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a加速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。当半圆柱体的速度为υ时，杆与半圆柱体的接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度
【物理模型】长均ι为的两杆用铰链P相连，其中一根杆的自由端用铰链O固定，而另一根自由端以大小和方向均恒定的速度υ0开始运动，并且开始时刻υ0平行于此时两杆夹角2α的角平分线，求开始运动后经非常短的时间。连接两杆的铰链P的加速度大小和方向。
例题：图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB杆和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为ι，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）
用图线清晰多次碰撞（或相遇）过程
例：甲、乙两人在长为L=84m的水池里沿直线来回游泳，甲的速率为υ1=1.4m/s，乙的速率υ2=0.6m/s，他们同时从水池的两端出发，来回共游了t=25min时间，如果不计转向的时间，那么在这段时间内他们共相遇了几次？若他们同时从同一端出发，那么在上述时间内，他们共相遇了几次？
思考题
如图所示，两个质量相同的小球，在一光滑的水平直槽ＡＢ内运动。滑槽两端有固定的壁。两处之间及小球与壁之间的碰撞是完全弹性的。开始时，１、２两球分别位于将滑槽三等分的两个分点处，两球运动方向相同，但速度大小不一定相同。
（１）如果两球之间的第二次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值 。
（２）如果两球之间的第５次碰撞是在滑槽中点迎面相碰，求两球初速的比值 。能满足要求的解有几种？

２

1
中点
t
s
2
1
n为奇数时
n为偶数数时
k为奇数时
k为偶数数时
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2