中学物理基础知识回顾与拓展（电磁学基础知识部分）
习题选讲
基本概念和知识点
一些相关的题外话
物理理论
基于实验和假设建立起来的用于阐明特定物理概念之间相互关系的数学方程(定律,laws）及其引申结果(定理,theorems).好的理论所需的假设少且普遍,前后没有矛盾,并能在一定范围正确解释和预言实验结果。
基本概念和知识点
物理理论
理论的关键是前后一致、自成一体；
理论相对于实际应用有一定的独立性；
应严格区分理论问题和应用问题。
(例：点电荷，理想气体，平行板电容器，
磁场中导体棒的滑动……)
基本物理理论是定量的，精确的；
每个理论都有其适用范围；
每个公式都有其适用范围；
电磁相互作用存在的范围：
从微观到宏观的一切尺度
电磁学的适用范围：
通常为经典宏观系统，不包含量子力学及
相对论效应
微元：宏观小微观大
电荷、电流分布在微元上可看成是均匀的
线电荷分布
面电荷分布
体电荷分布
一个长1米、宽1厘米、厚1毫米的电介质细带上均匀带有1库仑的电荷。问其体电荷密度 是多少？如果忽略其厚度，则面电荷密度 是多少？如果进一步忽略其宽度，其线电荷密度 是多少？
例：
矢量：　，　，
矢量的分量：
有正负之分，且正负有明确的意义
依赖于坐标系的选取
矢量的模(强度、大小)：
只能取非负值
不依赖于坐标系的选取
注意矢量的分量和矢量的模的区别
几个重要的近似等式：
电量及其量子化
基本(元)电荷：
一个物体的电荷只能是基本电荷的整数倍：
电子，　子，　子
中子，中微子，光子
质子，正电子等
电子，　子，　子
电荷守恒定律
在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化，系统所具有的正负电荷电量的代数和保持不变。
电荷的相对论不变性
在不同参照系中观察，同一带电体的电量不变。（与质量、时间等不同）
点电荷
点电荷是电磁学中最基本的一个理论概念，它不仅不是近似，恰恰相反，只有借助它，才可建立精确的电磁学理论。
在应用问题中，在适当的情况下，可将带电体近似为点电荷。
问题：自然界有没有点电荷？有没有静止的点电荷？
例：
点电荷在电磁场中受到的力
带电量为 、运动速度为　的点电荷任意时刻　在电
其中　　　　　称为洛仑兹(磁)力。
磁场中受到的电磁力为：
注意：此处的电场即包含电荷产生的电场，也包含感生电场，是二者之和。
电场源
电荷和随时间变化的磁场能够产生电场，除此外不存在任何其它的电场源。
磁场源
运动的电荷和随时间变化的电场能够产生磁场，除此外不存在任何其它的磁场源。
库仑定律
遵守牛顿第三定律：
库仑定律
两电荷必须静止 ---- 理论
与空间中是否存在电介质、导体等无关！
(低速运动时可用库仑定律估算两电荷间的作用力)
静电力的叠加原理
真空中两静止点电荷相距 ，所带电量分别为 和 ，
如果两点电荷之间放一物体，那么这两个点电荷之间的
库仑作用力的大小 与 相比较结果如何？其中
A.
B.
C.
例：
D. 取决于所放物体
静电场：由静止电荷产生的电场
注意静电场与运动电荷产生的电场的区别
注意静电场与感生电场的区别
注意在有些问题中，可将低速运动的电荷产生的电场近似为静电场
静止的点电荷产生的电场：
注意：与空间中是否存在电介质、导体等无关
静电场的叠加原理
注意：以上两条给出了静电场的全部性质!
如果已知多个静止点电荷之间的相互作用力满足叠加原理，且两个静止点电荷之间的相互作用力只和它们的电量 、 以及它们的位置 、 有关，记为 。证明 ，其中 是一个待定矢量函数。进一步地，利用已学物理原理, 证明 , 其中 ， 是一个待定函数。
例：
万有引力是否满足叠加原理？
例：
例： 一个导体球外距离球心为 的地方有一个静止的点电荷，带电量为 。该点电荷在导体球心处产生的电场强度是多少？
例： 均匀电介质球的介电常数为 ，半径为 。在球心处置一电量为 的自由电荷。问极化电荷是如何分布于电介质球的？求在空间各处由自由电荷、极化电荷分别产生的电场的场强和电势，以及由所有电荷产生的总场强和总电势。
电场线的性质：
静电场的电场线只能起于正电荷或无穷远，
终于负电荷或无穷远
静电场的电场线不闭合
电场线，无论是否属于静电场，都不相交
静电场的电场线在没有电荷之处光滑连续
（答案： ; 球冠的面积： ）
例： 两个点电荷之间的一条电场线在两个点电荷附近和它们之间的连线所夹的角分别为 和 ，则这两个点电荷的电量必须满足什么关系？
例： 证明均匀带电的球壳内部的电场强度为零。
例： 亦可证球壳外部距离球心为 的某点处的场强
为 ，其中 为球壳上的总电量， 为一常数。
例： 证明无穷大带电平面外一点处的场强与该点到带电
平面的距离无关。
例： 证明均匀带电的半球壳其开口大圆上各点处的电场
强度同向。
例： 证明无穷长均匀带电直线在距离其为 处产生的场强与一个半径为 的电荷线密度相同的半圆在圆心处产生的场强大小相等。
例：已知球面上的电荷分布为 ，其中 是一常数，球内部的场强是怎样的？（答：匀强场， ）
静电场的电势、电势能
只有静电场才可以定义电势、电势能；感生电场不能定义电势及电势能。
静电场是保守场，感生电场不是保守场。
静电场中，一个点电荷从给定点出发、沿任一闭合回路运动重新回到出发点，在这个过程中静电力做的总功为零。
点电荷电场的电势：
注意：上式与空间中是否存在电介质、导体等无关
电势的叠加原理
注意：上式已选无穷远处电势为零
（标量）
注意：以上两条等价地给出了静电场的全部性质
静电场的电势和场强的关系
注意：静电场是简单的，因为原则上等价于一个标量场。这是为什么静电场的电场线不能任意画的原因。
例： 两个正电子和两个质子分置在一个正方形的四个顶点上。让这四个粒子从静止状态开始自由运动，问长时间后，其中的一个正电子和一个质子的动能分别为多少？
例： 一个半径为 的薄球壳上带有总电量为 的电荷
（可能不是均匀分布的）；求球心处的电势。
例： 导体球壳半径为 ，不接地，其上所带总电量为零。在距球心为　的地方置一点电荷，电量为 。求导体球壳的电势。已知 。
面电荷密度为 的无穷大带电平面的静电场
（问题：电势？）
均匀分布于半径为 的球面上的电荷 的静电场
为　的与　垂直的截面面积。电通量为穿过 的
电场线的条数。电通量有正负之分。
静电场的高斯定理
(闭合曲面每一点的法向方向指向闭合曲面外。）
静电场中通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍，即
电通量：电场通过面积　　时的电通量为　　　；其中
静电场的高斯定理
（a）设点电荷在球形高斯面的圆心处；因为
１、每个小面元处的电场强度大小都相同；
２、每个小面元所在平面与电场强度垂直；
所以总的电通量（由里至外）
面　的电通量，因此总的电通量
静电场的高斯定理
（b）设点电荷在任意闭合曲面之内；因为
穿过闭合球面　的电通量等于穿过该闭合
静电场的高斯定理
（c）设点电荷闭合曲面以外，则
总的电通量必为零。

综合(a)、(b)、(c)，即有
例： 如图，一均匀带电无限 大平面，单位面积带电量
解：由对称性分析可知如图高斯面的电通量为
为，求周围的电场强度。
静电场的高斯定理
而
即
所以
静电场的高斯定理
例： 一均匀带电球面，半径为 R ，带电量为 q。求球面
R
解：
（1）球外某点的场强
内、外各点处的场强。
设该点距离圆心为r,r>R;由于对
称性，在其所处球面上的每一点
处的场强大小都相等(设为E),方
向垂直球面。故电通量
静电场的高斯定理
R
所以
又，根据高斯定理有
从而
(与圆心处置放点电荷　产生的场强一样)
静电场的高斯定理
R

（2）球内某点的场强
同理，对球内某点，仍有
但根据高斯定理，
所以
静电场的高斯定理
R

（3）球上某点的场强
１、球上某点挖去一个小面元，不影响该处电场；
２、球内(外)靠近该点处的电场，为该小面元的电场
与剩余球面电场之和；
由上述考虑可知球面上某点的场强为
静电场的高斯定理
例： 一均匀带电球面，半径为 R ，带电量为 q。求球面
解：
内、外各点处的场强。
R

综上，
例： 一均匀带电球面，半径为 R ，带电量为 q。求球面
上的静电表面张力系数　。
R
导体：（理论概念）
导体特征：导体内部存在大量的可自由运动的电子，这些自由电子在常温下局限在导体内部。导体因此可看成是充满了自由电子气的容器。
估算: 一块立方体铁块，如将某一面表层中每一个原子的一个外层电子转移到相对面表层，那么产生的场强有多强？
解: 设铁块两厘米见方，有约 个原子；则表层有约 电子被转移；所以
产生的场强约为
导体：（理论概念）
导体特征：导体内部存在大量的可自由运动的电子，这些自由电子在常温下局限在导体内部。导体因此可看成是充满了自由电子气的容器。
静电平衡：
处在静电场中的导体或孤立导体，若其宏观电荷分布不再随时间发生变化，也没有电流，则称该导体达到了静电平衡。
静电场中达到静电平衡的导体
由导体特征可知，达到静电平衡时
c）导体内无净余电荷；净余电荷只分布在导体表面
由此可推论
d ) 靠近导体外表面处的总电场强度　与该处导体表
面的面电荷密度　之间的关系是
b）导体表面是一个等势面；
a）导体是一个等势体；
静电场中达到静电平衡的导体
由导体特征可知，达到静电平衡时
c）导体内无净余电荷；净余电荷只分布在导体表面
d ) 靠近导体外表面处的总电场强度　与该处导体表
面的面电荷密度　之间的关系是
以上这些性质与导体是否接地无关
b）导体表面是一个等势面；
a）导体是一个等势体；
例： 距接地导体球壳的球心为　的地方有一点电荷 ，带电量为 。求导体球壳上的感应电荷总量。已知 。
静电场解的唯一性定理
设静电场中有一区域 R，其边界为S ，且R内不包含导体。 如在边界S 上给出以下两个边界条件之一，即 (1) 电势 V 在边界 S 上每一点的值，或者，(2) 电势 V 在边界 S 上每一点的法向导数，则该区域内的场强被唯一确定。
解的唯一性定理允许我们对导体壳内外静电场分区独立求解。
静电场解的唯一性定理
解的唯一性定理是理解静电屏蔽现象的根据。
解的唯一性定理允许我们对导体壳内外静电场分区独立求解。
解的唯一性定理是用镜像法求解静电场的根据。
56
例：证明如果一个导体空腔内部没有电荷的话，则当导体达到静电平衡时，空腔内部的场强为零，空腔内壁上没有净余电荷，净余电荷只能分布于导体的外表面。
57
例：在半径为 R 的原来不带电的金属球壳内两个点电荷，其电量分别为 q1 和 q2 。它们与金属球壳内壁均不接触。问距球壳中心r (r>R)点处的场强有多大？如果金属球壳接地会怎样？
例： 距无穷大接地导体平面为R的地方有一点电荷 ，带电量为 q。求空间中各处的电场。
求解静电场的镜像法
将静电场中特定部分的电荷以少数等效电荷代替（满足相同的边界条件）从而求得部分区域静电场的方法。
。求空间电场。导体球半径
例： 距接地导体球球心为　的地方有一点电荷 ，带电量为
求解静电场的镜像法
将静电场中特定部分的电荷以少数等效电荷代替（满足相同的边界条件）从而求得部分区域静电场的方法。
量为　。求空间电场。已知导体球不带净余电荷，其
半径
例： 距不接地的导体球球心为　的地方有一点电荷 ，带电
求解静电场的镜像法
将静电场中特定部分的电荷以少数等效电荷代替（满足相同的边界条件）从而求得部分区域静电场的方法。
量为　。导体球上带的总净余电量为 ，求空间电场。
例： 距不接地的导体球球心为　的地方有一点电荷 ，带电
求解静电场的镜像法
将静电场中特定部分的电荷以少数等效电荷代替（满足相同的边界条件）从而求得部分区域静电场的方法。
电容器
孤立导体电容器可看成是与地面或置于无穷远处的另一导体电极构成的电容器。
电容器必须假定是不受外界影响、或外界影响可忽略(串并联公式的前提)。
电容的定义：
注意以上两式中　和　的含义。
电容器储存的静电能：
电容器
例：求半径为　的导体球的电容。
解：假定导体球所带总电量为　，则其表面处电势为
与无穷远处的电势差亦为　　所以
电容器
例：估算人体承受的电流。
解：
电容器
例：如图，真空中由两个半径为分别为　和　的厚度可忽略的同心金属导体球壳构成的电容器的电容已知为　。如果它们所带的总电荷分别为　和　，那么用导线将这两个球面接通后，在导线上释放出的焦耳热总量为多少。
解：两极板连通以后，通过导线的总电量为　(解释)；因此转化为焦耳热的静电能为
电容器
例：平板电容器正负极板上所带电荷分别为 和 ，将
将两个极板用导线接通后，在导线上释放出的焦耳热总
量为多少。假定电容 已知。
答：
例：在上两题中，如果先将其中的一片极板接地，再将
两极板相接，情况会怎样？
解：设内、外壳分别带电 、 ；则两球壳的电势差为
电容器
例：如图，真空中由两个半径为分别为　和　的厚度可忽略的同心金属导体球壳构成一个电容器。其电容 为多少？
从而有
解：设两极板分别带电 、 ；两极板间的电场强度为
电容器
例：平行板电容器的极板面积为 ，极板间距为 ，其电容为多少？
其中
因此有
解：体系可看成是将B板从与A板重合的位置匀速右拉距离　形成的，其受外拉力与静电引力平衡, 为
其中
故外拉力对其做功
例：电荷面密度分别为 　和　 的平板电容器，平板面积为　，间距为　，计算其电容及储存的静电能。
电容器
因外力对系统做的功全部转化为系统的静电能，因此静电能
例：电荷面密度分别为 　和　 的平板电容器，平板面积为　，间距为　，计算其电容及储存的静电能。
电容器
H+
H+
H+
H+
C-4
无极分子：CH4

有极分子：H2O
H+
H+
O--


分子中的正负电荷束缚很紧，介质内部几乎没有自由电荷。
电介质
电介质的极化
电介质的极化过程
无极分子的位移极化
有极分子的转向极化
在外电场的作用下，介质表面或内部积累净电荷的现象称为电介质的极化。
电介质的极化的结果：
电介质的极化：
表面或内部产生极化电荷 ；
极化电荷产生电场 ：
电介质介电常数的物理含义
若均匀、各项同性、线性电介质的介电常数为 ，那么在静电场中被极化后，其内部没有净余电荷，而在其表面通常会有净余极化电荷。表面任一点处的极化电荷面密度和该点附近总电场强度的法向方向分量的关系是
真空
电介质
E内n
E外n
E内n
E外n
答：在球心处的极化点电荷为 ，在介质球表面的极化电荷面密度为 。
例：在半径为 、介电常数为 的电介质球的球心处置入一个点电荷，其电量为 。求空间中的电场。
；
例：介电常数为 的液体电介质以速率 流过一个平行板电容器（极板间距为 ），与速度方向垂直的方向有匀强磁场，磁感应强度为 。计算电容器两极板间的电势差。
解：电介质极化后只在其上下表面有均匀分布的等量异号极化电荷，因此电场完全只分布在电介质内部，故两极板间的电势差为零。电介质内部的场强和极化面电荷密度之间的关系是：
E内
E内
解之可得：
E内
例：无穷大导体平板单位面积上的总电荷为 ，左右两边充满了介电常数分别为 和 的电介质，求空间静电场的分布。
例：平板面积为　，间距为　，中间夹有介电常数为 的电介质。求电容。
（答： )
例：
解：
解：
稳恒电路
电源的电动势
定义：在电源内将单位正电荷从负极移动到正极的过程中非静电力所作的功
注意：电动势不是势函数
稳恒电路
电源的电动势
定义：在电源内将单位正电荷从负极移动到正极的过程中非静电力所作的功
例：
稳恒电路
例：
稳恒电路
伏安曲线、电阻
注意：电阻可以依赖于所施加的电压
电阻上消耗的热功率：
稳恒电路
电路中任意两点间的电势差满足
稳恒电路
例：
稳恒电路
例： 如图所示电路，若所有电阻、电动势、电动势内阻及电容都已知，求电容上的电荷。
稳恒电路
基尔霍夫第一方程组
在任一节点处，流向节点的电流和流出节点的电流的代数和为零：
(节点电流方程)
稳恒电路
基尔霍夫第二方程组
任一闭合回路中各电阻上电势降落的代数和等于该回路中各电源电动势的代数和：
(回路电压方程)
例：如图，已知
各电源内阻可略。求各支路电流。
可得：
稳恒电路
叠加原理
给定稳恒电路中任一支路上的电流，为各电动势单独存在(其余电动势设为零、内阻保留)时该支路上的电流的代数和。
例：如图，已知
各电源内阻可略。求各支路电流。
解：
的电阻为　，求　、　之间的电阻。
例：如图，已知无穷大网格中连接两相邻格点的导线
叠加原理和电流注入法
解：
假定右图中的圆表示无穷远；在A、B两点和无穷远之间分别连接一个内阻为　 的电动
势，并假定　远远大于A、B
两点与无穷远之间的电阻　。
根据叠加原理，A、B间的电流等于两个电动势单独存在时的
电流之和。如果当A、C间的电动势单独存在时流向A点的电流是I，那么因为　　　，可认为这一电流最后全部通过网络流到了无穷远，而没有电流由B流向C再流向无穷远。这样，等
解：
效地，相当于将B、C点间看成是断路的。因此可由对称性判断出Ａ、Ｂ点间的电流是
同理，当B、C间的电动势单独存在时也有　　　　 ；因此两个电动势都存在时A、B间的电流是　　　　　　　　　。
另一方面，当两个电动势单独存在时C点和无穷远之间的电流正好是大小相等方向相反的，所以两个电动势都存在时其上
解：
电流为零，所以这段导线可以拿掉。（如右图示。）
综合以上分析，最终可得A、
B间的电阻　为
通过此例，可以看出所谓的“电流注入法”实际上是电路叠加原理的一个推论。
计算等效电阻（电容）
具有对称性的电路，寻找等势点，通过连、断简化电路
具有相似重复结构的电路，可采用等效法
具有分形结构的电路，可采用极限或归纳法
例：……
超导现象
磁场线相互之间不相交
磁场线的性质
磁场线是闭合的
磁场线在没有电流的地方都是光滑连续的
无法定义与磁场等价的（标量）“磁势”
例：有一根细铁棒和细磁铁棒，外形一样。不借助其它工具怎样区分它们
毕奥萨伐尔定律
电流元　　在相对于其位置为 　的点处产生的磁感应强度
o= 4  10-7 T·m·A-1
P
r

为
：真空的磁导率。
毕奥萨伐尔定律
例：一个半径为　的线圈上通有电流强度为　的电流；求电流值线圈圆心处产生的磁感应强度。
解：
磁场的叠加原理
毕奥萨伐尔定律
例：无穷长直导线上通有电流强度为　的电流；求距其　处的磁感应强度。
解：
磁场的叠加原理
毕奥萨伐尔定律
例：无穷大平面电流的面电流密度是　，求空间各处的磁感应强度。
解：
磁场的叠加原理
毕奥萨伐尔定律
例：无限长螺线管内部的磁感应强度。
解：外部磁感应强度为零，内部是匀强磁场，且
磁场的叠加原理
恒定电流磁场的安培环路定理
(例：　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　)
在恒定电流的磁场中，磁感应强度矢量　沿任一闭合路径　的积分( 　的环流)等于穿过以　为边线的任一曲面的电流强度的代数和乘以　：
(磁场的有旋性)
恒定电流磁场的安培环路定理
例：求空心圆柱导线中的电流产生的磁场。
洛仑兹(磁)力
特点：
洛仑兹力的方向与速度方向垂直，不做功。
带电量为 、运动速度为　的点电荷在磁场　中受力为：
方向：右手四指由速度方向握向磁场方向时大拇指的指向。　为负时则相反。
洛仑兹磁力
初速度方向与磁场方向垂直
周期:
半径:
粒子作匀速圆周运动:
（与速率无关）
初速度方向沿任意方向
螺距:
沿螺旋线轨道运动:
半径:
洛仑兹磁力
洛仑兹磁力
磁镜：
磁瓶：
洛仑兹磁力
极光：
由于地磁场俘获带电粒子而出现的现象
安培力
方向：右手四指由电流方向握向磁场方向时大拇指的指向
安培力
安培力
电磁轨道炮不同于当前的舰炮，它利用电流和生成的电磁力替代化学能来发射弹丸。其弹丸射速远高于当前舰炮的弹丸射速。
例：稳恒电流为什么会在导线中均匀分布？
动生电动势
：有效切割磁力线的速度分量
注意：产生动生电动势的非静电力为洛伦兹力的分力，它不是一个保守力。
感生电动势
单位时间内的磁通量变化
注意：产生感生电动势的非静电力为感生电场，但感生电场不是保守场，不能定义电势。感生电场的电场线是闭合的。感生电场可以对电荷做功。
×　×　×　×
×　×　×　×
×　×　×　×
例：半径为　的导线环置入随时间均匀增加的磁场
中，求线圈中的感生电动势。
解：在时间　到　　　之间，磁通量变化
方向为逆时针方向。
所以感生电动势大小为
感生电动势
感生电动势
单位时间内的磁通量变化
一个感生电场可准确求解的简单例子：
  
   
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    
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    
   
  
例： 如图，已知以PQ为直径的圆环的磁通量以每秒　 增加，求P、Q两点间的电势差及电流表上的读数。
解：问题可等价于下图。据题意有
以及
(对称性)
(法拉第-楞次定律)
易得
可知，
另外，当　　　时，　　　　　与　无关。
自感现象
由于回路中电流变化而在自身回路中产生感生电动势的现象。
自感系数
性质：L取决于回路的形状、匝数、磁介质等自身特性。
(单位：亨; H )
自感电动势
回路中由于回路的电流变化而产生的感生电动势：
例：长为 l 的螺线管，横断面为 S，线圈总匝数为 N ，管中