球壳的万有引力
地球内部物体受到的万有引力
兰色部分：不贡献引力
红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M’，M’是红色部分的总质量
球体的万有引力
O
R
F
r
原型：
假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为6400km，忽略摩擦力。
考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。
考题（2004复赛第三题）
有人提出了一种不用火箭发射人造卫星的设想。沿地球的一条弦挖一通道，在通道的两个出口处A和B ，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时释放，只要M比m足够大，碰撞后质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道。设待发卫星上有一种装置，在卫星刚离开出口B时，立即把卫星速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小，这样卫星便有可能绕地心运动，成为一颗人造卫星。若卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？ 已知M=20m，地球半径为6400km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。
考察知识点：1.球对称引力场 2.简谐振动。
3.弹性碰撞 4. 机械能守恒
5.有心力场里的运动（第一宇宙速度）
竞赛题与常规考题的区别：
1. 考察的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强
对策：熟悉各种原型问题。
2. 在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。
对策：识破题目的障眼法，找到原型。
3. 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论，
有的是多个不同物理原型的综合。
对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题，常规考题设置了一些简化假设（比如没有摩擦，2004复赛第七题在碰撞停止之前水平速度一直向右等等）。不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。
解：
线性恢复力，做振幅为A的简谐振动
弹性碰撞，注意：正负号，用恢复系数 （写能量守恒式子）
简谐振动，能量守恒 （不要把v 当成发射速度）
宇宙速度
例 如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速度vo来回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力贡献。（1）求每个壁所受的平均作用力F，（2）如果一个壁表面以v<（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速度还是vo，所以小球每一次与壁面碰撞动量的变化是2mvo, 即单次碰撞墙壁受到的冲量为2mvo，单位时间内的碰撞次数（碰撞频率）为f=vo/2l,单位时间墙壁受到的总冲量即是墙壁受到的平均作用力，所以
(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁受到的冲量为2mu，所以
求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相继两次碰撞的时间间隔为
每一次碰撞速度的增量为 2ｖ
小球速度的速度增加率
积分得

利用以上结论还容易证明，把表面从距离l推近到距离x 时所做的功等于球的动能的增加
例．在水平桌面上有一卷质量为m 、长为l的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提起（如图所示），当提起的长度为x时，
(1) 求手的提力为多少？做功多少？
(2) 链条获得的机械能为多少？
(3) 比较以上功与机械能变化是否相等，你能解释吗？
解: 取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为手的提力与这一段自身的重力之和，即


链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到v，其动量的增量为
该力做功为

（2）链条获得的机械能为动能和势能之和
（3）功与机械能变化的差是
用功能原理来求力得不到正确结果!
发射卫星
质量为m的卫星环绕的地球（质量为M）作半径为R0的圆周运动，求卫星的速度u0。
在上述圆轨道的某一点Q沿切线从u0加速到u1，使之改变轨道，达到远地点P距离地心为R1的椭圆轨道上，求加速后的速度u1，用u0和R0 ，R1表示。
导出卫星远离地球引力场范围的最小速度u1，用u0表示。
接第二问，卫星达到远地点P的速度u2，用u0和R0 ，R1表示。
在远地点P再次变轨，从u2加速到u3，使之沿着半径为R1的大圆轨道运行，求加速后的速度u3，用u2 和R0 ，R1表示。
6. 如果卫星受到一个微小的扰动，偏离了原先半径为R1的圆轨道，导出卫星到地心的距离r围绕平均距离R1来回振动的周期T。
7. 描绘受到扰动的轨道以及原有圆轨道的草图。
提示：必要的话可以运用以下卫星轨道的运动方程：
解：
h取零级近似
秋千问题. 一男孩通过交替蹲下和站起的方式来荡秋千。图示的是在摆动过程中男孩的质心轨迹。当男孩处于站立姿势时，设秋千枢轴到男孩质心的距离为ru；而当男孩处在下蹲姿势时，秋千枢轴到男孩质心的距离为rd。设比值rd/ru=21/10=1.072。
为了使问题简化，假定秋千质量可以忽略，秋千的摆幅很小，男孩的质量总是集中在其质心上；同时还假定男孩每次从下蹲到站立或者站立到下蹲的过程(即A到B，E到F)与秋千摆动本身相比进行得足够地快，因此可以认为从下蹲到站立或者站立到下蹲是瞬间完成的。与此类似，另外两个下蹲过程(从C到D，从G到H)也被假定是瞬间过程。
需要求解的问题是：男孩要将秋千摆动幅度增加一倍，或者说最大角速度增加一倍(即摆动幅度为初始幅度的两倍，或最大角速度为原来的两倍)，需要进行多少次（可以用分数表示）摆动才行。
角动量守恒，

由B摆到最高点C机械能守恒，

由D摆到E的过程也满足机械能守恒，即
经过n个周期角速度增加的因子是
。
经过n个周期角速度增加的因子是
例（P215）：半径为R的圆环状细管在水平面内以匀角速绕A点转动。管的内壁是光滑的。求解质点M在其相对平衡位置附近作小振动的周期，及约束反力。
求解及分析
在转动坐标系中，仅惯性离心力(保守力）做功，重力、约束反力、科氏力不做功。根据机械能守恒原理
IPhO14-1 一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。 在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x0＝1.0m出发。
（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，
（2）画出质点在力场F中的势能图，
（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。
(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度为零才会静止。F是保守力，所以
fS=E0+|F|x0
S=20m.
(2)Ep=|F|x+c


向上时加速度为11，
下落时加速度为9
滑动摩擦下的谐振子
力学里，经常用到所谓的相空间，即由体系所有粒子的坐标和动量（或者速度）构成的虚拟空间。相空间里的点称为相点。每个相点确定了系统的一个状态。
当力学系统演化时，相应的相点的轨迹成为相轨迹。通常在相轨迹上画一个箭头来反应演化的方向。给定力学系统的所有可能的相轨迹构成相图。通过分析相图就可以定性地给出力学系统的重要性质而无需将系统的动力学方程求解为显函数形式（explicit form）。在许多情况下，相空间的应用是解决力学问题的最合适的方法。
本题中，我们建议利用相空间来分析一个自由度的力学系统，即一个坐标描述的系统。在这种情况下，相空间是一个二维平面，相轨迹是该平面上一条曲线，它反映动量和坐标的依赖关系。
作为一个例子，图1给出了一个沿x轴正方向运动的自由粒子的相轨迹。
问题A 相图（3.0分）
A1 [0.5分]画出自由质点相轨迹，该质点在两个互相平行位于x = - L/2和x = L/2的全反射墙壁之间运动。
A2 研究谐振子的相轨迹，也就是质量为m受胡克力（F = - k x）作用的质点的相轨迹。
[0.5分]写出相轨迹的方程和相应的参数
[0.5分]画出谐振子的相轨迹。
A3 [1.5分]考虑一个长度为L质量不计的刚性棒，一端固定，另一端有质量为m的质点（重力加速度为g）。用棒与铅垂线之间夹角a作为描述系统的坐标。相平面是由()描绘的坐标平面，研究并画出在任意角度a下该摆的相图。设K为该系统不同性质的相轨迹种类的数目，求K的值。对每种相轨迹至少画出一条典型的相轨迹。给出描述的每一种相轨迹的参数的取值范围。（不要将平衡点当作相轨迹）。忽略空气阻力。
B. 滑动摩擦下的振子(7.0分)
考虑运动的阻力，我们通常处理两种类型的摩擦力。第一类是与速度有关的摩擦力（粘滞摩擦），可用来表达，例如固体在气体或液体中的运动。第二类是跟速度无关的摩擦力，其大小可用F=mN来表达，力的方向和接触物体间的相对速度的方向相反（滑动摩擦），如一个固体在另一个固体表面的运动。
作为第二种摩擦力的一个特例，考虑水平表面上和弹簧一端相连的物体，弹簧的另一端固定。该物体的质量是m，弹簧的弹性系数是k，物体和表面之间的摩擦系数是m。假定物体沿x轴作直线运动（取x=0为弹簧未伸缩的位置）。假定动摩擦系数和静摩擦系数是相同的，初始时刻物体位于x=A0（A0>0）的位置，速度为零。
B1. [1.0分]写出在滑动摩擦力下,简谐振子的运动方程。
B2. [2.0分]画出这一振子的相轨迹，确定振子的平衡位置。
B3. [1.0分]振子是否在弹簧未拉伸状态下完全停止运动？如果不是，确定振子能够完全静止的区域长度。
B4. [2.0分]确定振子的x正方向振动最大偏离量DA在一次振动后的减少。相邻两次到达最大正向偏离的时间间隔是多少？给出x正方向第n次最大偏离量A(tn)的表达式，其中tn是第n次达到正向最大偏离处的时间。
B5. [1.0分]画出坐标与时间的关系，并估计物体总的振动周数N。
A1. [0.5 p]
A2. [1.0 p]
A3. [1.5 p]

E<2mgL 摆动； E<E=2mgL 趋向于最高点
E>2mgL 绕轴转动
K = 3 ，三种轨迹：
振动，转动，临界点。
B1. [1.0 p]
Ffr = mg,
02=k/m
B2. [2.0 p] ，
摩擦力的影响体现为平衡位置的漂移：
相图是两组椭圆的组合：
p>0对应的上半平面的中心位于x-椭圆的一部分，
p<0对应的上半平面的中心位于x+椭圆的一部分，
两者在p = 0的地方连续，
B3. [1.0 p]
落在以下区域范围即可
B4. [1.5 p]
在下半平面椭圆半长轴减小，所以在x轴的交点平移了一个长轴的缩短量：
B5. [1.5 p]
总的振动周数N
“
质心系中，位移范围为L/2, 偶数次碰撞后位移为零，平均速度为零，故质心速度即为所求。
Problem4.
Solution
例题：均匀弹簧在重力场中的伸长问题。 M, K
引例：弹簧串联。哪个伸长更大？
n个弹簧串联，从下向上数
x1=mg/k, x2=2mg/k, x3=3mg/k,…
X=x1+x2+x3+…+xn=n(1+n)mg/2k
M=nm
X=Mg(1+n)/2k
n无穷大, 1+n=n, k/n=K(n个串联弹簧的等效弹性系数)

X=Mg/2K (M均匀弹簧的总质量，K弹性系数）
可以进一步考虑，均匀弹簧悬挂小球的伸长，振动。。。
26届复赛2：图示正方形轻质刚性水平桌面由完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c, 求桌面对桌腿1的压力F1。
分析：力平衡，力矩平衡，对称性，
F1＋F2＋F3+F4＝F
F2＝F4
F3＋cF＝F1
差一个方程，弹性形变，X1=F1/k, X2=X4=F2/k, X3=F3/k
从侧面看1、2（4）、3腿构成梯形，形变量满足
X1＋X3＝2X2
即F1＋F3＝2F2
以上方程解得
F1＝(2c+1)F/4, F3=(1-2c)F/4
讨论：
c>1/2, F3<0? 取F3＝0，重新解，以上哪个方程不必满足？
F1＋F2＋F3+F4＝F
F2＝F4
F3＋cF＝F1
X1＋X3＝2X2？？？
化成 F1＝cF

总结:
F1＝(2c+1)F/4， 0≤c≤1/2
F1=cF, 1/2≤c≤1
IPhO20-2
不共线的三个点P1,P2和P3质量分别为m1,m2和m3，彼此间仅有万有引力作用。令C代表过质点组（P1，P2，P3）质心并垂直于三角形P1P2P3所在平面的轴，当系统绕轴C旋转时，为使三角形P1P2P3的形状保持不变，那么质点间的距离P1P2＝a, P2P3=b, P1P3=c应满足什么关系？角速度应满足什么条件？即在什么样的条件下，系统能如刚体一样绕C轴旋转？
IPhO4-1 (1970)
在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子，使雪橇具有速度v0=0.1m/s。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数＝0.02。把住木板，起动马达。当雪橇达到速度v0时，放开木板。在此瞬间，雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在（a）远处的柱子，(b)木板的端面上。
试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时达到木板端面？
IPhO9-1
半径R=0.5m的空心球以角速度 绕其竖直直径旋转。在球内侧高度为R/2处有一小木块同球一起旋转。(g=10m/s2)
(1)实现这一情况的最小摩擦系数为多少？
(2)求 时实现这一情况的条件。
(3)在以下两种情况下研究运动的稳定性
(i)木块位置有微小变动；
(ii)球角速度有微小变动。
20-2解: 取坐标原点在质心，则
引力

质点1惯性离心力 与引力平衡，故
代入

两项不共线，所以系数分别为零，
4-1
解：（a）木板速度达到v0之前匀加速，
雪橇在木板经过的距离为
此后两者没有相对运动，马达空转，雪橇不能达到端面。
（b）系统动量守恒，设放开后木板的速度为V,雪橇为V+v0，
V=0。所以木板不动，雪橇以原有速度继续前进。t=L/v0
9－1解：

（1）

（2）

（3）把 和 当作变量，判断N,f以及 的增减。
增加 ，则N增加，f减小，能满足 ，所以能保持平衡，
减小则N减小，f增大，不能满足 ，向下滑。
改变，
两者系数皆正，两者比值的变化更重要
附近，
该系数仍大于零。如果木块向上滑动，
增加，要求摩擦系数增加，
不够大，故滑下来；
如果向下滑，则摩擦力足够，不回来了。
附近
增加则
增大，不能保持平衡，向上滑；
减小则
减小， 保持平衡。
增加时，要求摩擦系数减小，可以停留；
如果向下滑，要求摩擦系数增大，摩擦力不够，返回。
例：刚体支于不通过重心的水平轴,在重力作用下作定轴转动,就称为复摆.试研究复摆的运动.
 具体分析（定轴问题）
 运动方程
动量矩定理
对于小角度摆动
等效摆长
在质心下方
（OC连线外侧）
在OC连线上能否找到另一点O’，与O点具有相同的周期？即T’=T，或l0=l’0?
IPhO13-2 金属丝衣架可在图示平面内做小幅振动。在位置(a)和(b)的情形，长边是水平的，另两边边长相等。所有三种情形的振动周期均相同。问质心位于何处？试求出周期。（图中除尺寸外并未给出关于质量分布的任何信息。）长边42cm,高10cm.
解: 设质心到三个悬挂点的距离为l1, l2, l3, 周期
取决于等值摆长，相同L时l有两个解，满足
因此前面l1, l2, l3,三者中有两个是相等的。由于l1＋l2＝10， l3> l1＋l2 ，所以l3不可能与l1,或l2相等，故l1＝l2＝5cm，
IPhO15-2 在某些湖泊中能经常观察到称之为“湖震”的奇异现象。它通常发生在长且窄的浅湖中。水的整个质量就像端咖啡待客时杯中的咖啡那样运动，这不能错当成湖面所看到的正常水波。
建立湖震模型，取一个矩形容器。用L表示容器的长度，h表示水的高度。假定水面最初与水平面有一很小的夹角。水开始绕容器一半长度处的水平轴振动，而水面始终保持为平面。
试对水的运动建立一个模型，并求出振动周期T的表示式。
表中列出了两个不同长度的容器中不同水深的振动周期。用适宜的方法核查，使实验数据较好得符合你求出的公式，并发表对你所用的模型的看法。
解: 水面下方的三角形移动到水面上方，三角形底边L/2,高r<整个水体的质心移动：
做T-h1/2图，实验值为
IPhO21-3中子星的旋转(p258)
毫秒脉冲星是宇宙中的一类辐射源，它们发射间隔周期为一到几毫秒的持续时间非常短的脉冲。这种辐射在无线电波长范围内，一台合适的无线电接收器便可用来检测各个脉冲，由此精确地测定其发射周期。
这些无线电脉冲来自于一种特殊的，称之为中子星的星体表面。中子星非常密实，它们的质量与太阳的质量有相同数量级，而半径只有数十公里。它们非常快地自旋。由于高速旋转，中子星稍被压扁（假定表面形状是长、短轴几乎相等的旋转椭球面）。
令rp代表极半径，re代表赤道半径；并定义扁平率因子为e=(re-rp)/rp.
考虑一个中子星，质量 2.0*1030kg, 平均半径1.0*104m, 旋转周期 2.0*10－2 s
（1）计算其扁平率因子，（给定引力常数G）。
由于长期运动中能量损失，中子星的旋转减慢，从而导致扁平率减小。中子星有一固态壳层，它浮在液态内核上。中子星会时而发生“星震”，结果造成壳层形状改变。在一次这样的星震过程中及震后，壳层与内核的角速度都会变化，壳层角速度的变化如图所示。
（2）利用图中数据计算液态内核的平均半径。可近似认为壳层与内核密度相同（略去内核形状变化）。
解: (1) 建立XOY坐标，原点在星体中心，表面方程 y=y(x) 。假设没有切向应力，即合力沿着表面法向（即与切线垂直）
沿切线取一个矢量 (1, dy/dx)，
表面质元dm受合力为 (GMdmx/r3 –w2xdm, GMdmy/r3)
两者垂直，内积为零：
GMdmx/r3 –w2xdm＋（GMdmy/r3 ) dy/dx＝0
Ydy+(1-w2r3/GM)xdx=0
(2) 星震造成星体壳层质量分布改变, 先是外壳转动减速, 内核维持原有速度,所以

内摩擦使得内核与外壳一致以后
IPhO16-3 在一项太空计划中，讨论了向太阳系外发射空间探测器的两种方案。第一种方案是以足够大的速度发射探测器，使其直接逃逸出太阳系。第二种方案是使探测器靠近外层行星，然后借助于行星改变其运动方向，并达到逃逸出太阳系所必须的速度。假定探测器仅在太阳或行星的万有引力场中运动，究竟在那个引力场中运动，这要看探测器所在点哪个场较强。
（1）按照第一种方案发射时，试确定探测器必须具有的相对地球运动的最小速度。
（2）假定探测器已按（1）中确定的方向，然而以另一速度大小发射。试确定探测器与火星轨道相交时的速度，即确定相对于火星轨道的平行分量和垂直分量。发生相交时火星并不在交点附近。
（3）设探测器进入火星引力场以后再离开。求探测器从太阳系逃逸的最小发射速度。
（4）估算第二种方案与第一种方案所节省的能量的最大百分比。
注：假定所有行星在同一平面内沿相同方向绕太阳在圆轨道上旋转。忽略空气阻力、地球自转以及从地球引力场逃逸出所消耗的能量。
数据：地球绕太阳旋转的速度为34km/s, 地球与火星离太阳的距离比为r=2/3。
解: （1）第三宇宙速度问题
行星的轨道速度为：
在地球轨道上发射要求（以太阳为参照系）

利用地球的轨道速度，只要求离开地球引力范围后速度沿轨道方向，且相对于地球速度。

（这个还不是第三宇宙速度，因为忽略了从地球引力场逃逸出所需要的能量。）
如果借助于火星，则离开火星引力范围后相对于火星的速度为。
(2)假定相对于太阳发射速度为v,
（3）到达火星轨道的相对速度要达到
接近火星的相对速度为

在地球轨道上的相对速度
为什么以火星为参照系？
修正：考虑地球引力，地面发射速度与离开地心引力范围后相对地球速度的关系，
以上两个发射速度平方都要加上2Rg，
（4）
方案1修正为
方案2修正为
为什么以地球为参照系？
N个相同的小球在光滑的水平桌面上均匀地排成半圆，它们的总质量是M。另外一个质量为m 的球从左边以速度 射向最边上的小球。在适当的初试条件下，m与所有的N的小球依次发生弹性碰撞，最后又径直向左离去。
(1)在 的极限下，发生上述碰撞M/m要满足什么条件？
(2) m离开半圆的速度是多少？
解：（1）每个小球的质量为 m=M/N, 初速度为v的球 m向静止小球 m发生弹性碰撞的最大散射角为
证明如下：
质心速度为

在质心系，两者的相对速度是

质心系散射后两者的速度不变，方向发生变化，所以m后来的速度为

最大偏转发生在速度与圆向切的位置，即
如果，m>m，则最大散射角为180度。

本题中，每次偏角为
，
练习14.24(p535)：
质量为m1和m2 的两个小球，用长度为l的线连接，置于光滑水平桌面上。将这个系统快速旋转起来，这时m1暂处于静止状态，而m2以速度v0 垂直于它们的连线而运动。释放这个系统，求系统此后的运动和线中的张力。
解：系统不受外力，动量守恒
不受外力矩，角动量守恒
练习13.7(p528)：
镜框紧帖着墙站在粗糙的钉上，稍受扰动就向下倾倒。求镜框跳离钉子时与墙所作的角。
解：
=?
质心加速度：
跳离时，N=0, 得：
得：
练习14.18(p533)：
半径为a的匀质球以速度v沿水平表面作纯滚动的过程中与高度为h碰撞前后关于A点角动量守恒：
解：
碰撞后机械能守恒：
解：
例题： 一质量为m,长为l的匀质细杆铅直地放置在光滑的水平地面上。当杆由静止倒下时，求地面对杆端的支撑力。
A点竖直速度为零：