质点动力学 运动定理
动量、动量定理
功与能
动量矩(角动量）定理
有心力问题
曲线的功
合力所做的功等于分力所做功的代数和。
内积(标量积)
功
功的性质
(1) 功是过程量，一般与路径有关。
(2)功是标量，但有正负。
 (3) 合力的功为各分力的功的代数和。
引力的功
     两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点，万有引力的功:
与路径无关
弹力的功
<0
Potential energy(势能)
与相互作用物体的位置有关的能量。
势能的增量等于保守力所做功的负值.
Gravitational potential energy
Elastic potential energy
关 于 势 能：
势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。
势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。
(3) 势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。
(4) 与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。
(2)势能 保守力
梯度：
Example: find gravity from gravitational potential V=mgy
Solution:
动能定理: 运动质点的动能的增加等于其它物体对它所做的功.
Kinetic energy (动能) T=1/2mv2
Conservation of mechanical energy 机械能守恒原理
功能原理
作用于质点的力F
Fc所作的功Wc可用势能的减少来表示.
Fd所作的功Wn不（可）用势能的减少来表示.
系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的功的总和。
例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆轨道上,轨道半径为,求卫星的势能\动能和机械能.(不计空气阻力)
（1）势能
IPhO14-1 一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。 在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x0＝1.0m出发。
（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，
（2）画出质点在力场F中的势能图，
（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。
(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度为零才会静止。F是保守力，所以
fS=E0+|F|x0
S=20m.
(2)Ep=|F|x+c


向上时加速度为11，
下落时加速度为9
动量、动量定理

动量:
冲量 I:
由牛顿第二定律：
例 如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速度vo来回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力贡献。（1）求每个壁所受的平均作用力F，（2）如果一个壁表面以v<（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速度还是vo，所以小球每一次与壁面碰撞动量的变化是2mvo, 即单次碰撞墙壁受到的冲量为2mvo，单位时间内的碰撞次数（碰撞频率）为f=vo/2l,单位时间墙壁受到的总冲量即是墙壁受到的平均作用力，所以
(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁受到的冲量为2mu，所以
求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相继两次碰撞的时间间隔为
每一次碰撞速度的增量为 2ｖ
小球速度的速度增加率
积分得

利用以上结论还容易证明，把表面从距离l推近到距离x 时所做的功等于球的动能的增加
角动量与
角动量守恒
匀速直线运动的
一个守恒量
掠面速度: Areal velocity
掠面速度：位矢r 在单位时间内扫过的面积。
推广到有心力！
掠面速度
Cc//SB，所以三角形SBC与SBc等高
有心力作用下掠面速度相等。
牛顿的推理：
有心力作用下角动量守恒
守恒量
m
定义：
动量矩
角动量
m
m
Moment of inertia转动惯量
动量矩(角动量）定理
质点对轴的动量矩等于对轴上任意
一点的动量矩在该轴上的投影。
 关于轴线的动量矩
z
A
 直角坐标系
 力对线的力矩
 极坐标系
力对参考点o的力矩M：受力质点相对于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。
 力对于参考点的力矩
力对轴上任意一点力矩在该轴上的投影等于力对该轴的力矩。
 动量矩(角动量）定理—平面运动
极坐标：
直角坐标：
请自己证明：
动量矩(角动量）守恒
若作用于质点的力对参考点o的力矩之和保持为零，则质点对该点的动量矩不变。
开普勒第二定律

对任一个行星说，它的径矢在相等的时
内扫过相等的面积。
 运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。
作用力——有心力， 定点——力心
 在有心力作用下，质点在通过力心的平面内运动。
有心力
有心力问题的基本方程
以力心为极点的极坐标系
两个基本方程
动量矩守恒原理
机械能守恒原理
有心力为保守力
The Laws of Planetary Motion Kepler‘s First Law:The orbits of the planets are ellipses, with the Sun at one focus of the ellipse.行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。
Kepler's Second Law:
The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times as the planet travels around the ellipse.
对任一个行星说，它的径矢在相等的时间
内扫过相等的面积。
动量矩守恒
Kepler's Third Law:
The ratio of the squares of the revolutionary periods for two planets is equal to the ratio of the cubes of their semimajor axes:
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方
与周期T的平方成正比
T2 /a3=K
引力与距离平方成反比
例题：人造卫星沿着椭圆轨道运动，近地点离地心的距离为r1, 远地点离地心的距离为r2, 地球的质量为M，卫星的质量为m，求：
（1）卫星在近地点和远地点的速度；
（2）卫星的总机械能。
试导出开普勒第三定律！
IPhO11-1 一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10000m/s，月球半径R=1700km, 月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球（如图）（1）到达月球上A点，该点正好与X点相对；（2）在X点给一只向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点。试计算上述两种情形下所需要的燃料量。
分析：画出两种情形的完整轨道。用能量判断轨道：是否椭圆？哪一种情形燃料更多？飞船被加速还是减速了。
圆轨道速度
（1）XA之间距离即新轨道长轴为2R+h，能量为
原轨道长轴为2(R+h),能量为
在X点需要改变的动能：
在X点需要改变的动能：
（2）
 质心运动定理(动量定理)
 碰撞
 动量矩定理
 动能定理
质点组运动定理
质心运动定理——动量定理
在质点动力学中，“质点”其实就是物体的质心
质点组的动量定理（微分形式）：质点组动量的时间变化率等于质点组所受外力的矢量和。
质点组的动量定理（积分形式）：质点组动量的改变等于质点组在这段时间内所受外力的冲量的矢量和。
动量守恒原理
（注意：各分量的守恒！）
例(p243)：长为l质量为m的软绳，自静止下落。开始（t=0)时，绳的下端与桌面恰相接触，求下落过程中桌面对绳的反作用力。
 具体分析（质点组问题）
 运动方程（质心运动定理）
!
?
例．在水平桌面上有一卷质量为m 、长为l的链条，其一端用手以恒速v竖直向上提起（如图所示），当提起的长度为x时，
(1) 求手的提力为多少？做功多少？
(2) 链条获得的机械能为多少？
(3) 比较以上功与机械能变化是否相等，你能解释吗？
解: 取提起的这一段链条为研究对象，它受到的合力为手的提力与这一段自身的重力之和，即


链条在dt时间内，一段长度为dx=vdt的链条由静止加速到v，其动量的增量为
该力做功为

（2）链条获得的机械能为动能和势能之和
（3）功与机械能变化的差是
用功能原理来求力得不到正确结果!
 动能定理
质点的动能定理
质点组的动能定理
（1）动能定理
（2）质点组的动能与质心的动能
=O
柯尼希定理
质点组的动能=质心的动能+
质点组相对于质心的动能
 两体问题的动能
e=1, T=0; e<1, T<0
（3）机械能守恒原理与功能原理
质点组的功能原理
Case study : Work done by gravitation
But if M~m, what is the work?
势能：属于质点组（整个系统）
Example: 质量为M、m的两球原来相距为a，在万有引力作用下逐渐靠近至相距为b，求在此过程中引力所作的功。
Solution I:
In Frame M
C
Solution II:
Re. center of mass
M: m:
M:
m:
各个力的功与参考系有关，但一对力的功与参考系的选择无关。
质心系里，内力的功与质量成反比。对小质量物体作功占主要地位。
引力的功只与物体系统的初始和最终相对位置有关，与路径无关。
 碰 撞 Collisions（1-D）
对心碰撞（正碰）
（两球的相对速度沿球心联线）
碰撞前
碰撞后
碰撞过程
压缩阶段
恢复阶段
恢复系数
0 <= e <= 1
完全弹性碰撞
完全非弹性碰撞
约化质量
动量守恒原理+恢复系数的定义
m1=m2的完全弹性碰撞
交换速度
练习：试在质心系中求解对心碰撞
从特殊到一般的思路！
 两体问题的动能 About kinetic energy
Before collision：
After collision：
Relative velocity, after collision
Therefore：
e=1, T=0; e<1, T<0
资用能：available energy, 对撞机
Example: The gravitational slingshot effect. The planet Saturn moving in the negative x-direction at its orbits speed (with respect to the sun) of 9.6km/s. The mass of the Saturn is 5.69×1026kg. A spacecraft with mass 825kg approaches Saturn, moving initially in the +x direction at 10.4km/s.The gravitational attraction of Saturn causes the spacecraft to swing around it and head off in the opposite direction. Find the speed of the spacecraft after it is far enough away to be nearly free of Saturn’s gravitational pull.
IPhO16-3 在一项太空计划中，讨论了向太阳系外发射空间探测器的两种方案。第一种方案是以足够大的速度发射探测器，使其直接逃逸出太阳系。第二种方案是使探测器靠近外层行星，然后借助于行星改变其运动方向，并达到逃逸出太阳系所必须的速度。假定探测器仅在太阳或行星的万有引力场中运动，究竟在那个引力场中运动，这要看探测器所在点哪个场较强。
（1）按照第一种方案发射时，试确定探测器必须具有的相对地球运动的最小速度。
（2）假定探测器已按（1）中确定的方向，然而以另一速度大小发射。试确定探测器与火星轨道相交时的速度，即确定相对于火星轨道的平行分量和垂直分量。发生相交时火星并不在交点附近。
（3）设探测器进入火星引力场以后再离开。求探测器从太阳系逃逸的最小发射速度。
（4）估算第二种方案与第一种方案所节省的能量的最大百分比。
注：假定所有行星在同一平面内沿相同方向绕太阳在圆轨道上旋转。忽略空气阻力、地球自转以及从地球引力场逃逸出所消耗的能量。
数据：地球绕太阳旋转的速度为34km/s, 地球与火星离太阳的距离比为r=2/3。
解: （1）第三宇宙速度问题
行星的轨道速度为：
在地球轨道上发射要求（以太阳为参照系）

利用地球的轨道速度，只要求离开地球引力范围后速度沿轨道方向，且相对于地球速度。

（这个还不是第三宇宙速度，因为忽略了从地球引力场逃逸出所需要的能量。）
如果借助于火星，则离开火星引力范围后相对于火星的速度为。
(2)假定相对于太阳发射速度为v,
（3）到达火星轨道的相对速度要达到
接近火星的相对速度为

在地球轨道上的相对速度
为什么以火星为参照系？
修正：考虑地球引力，地面发射速度与离开地心引力范围后相对地球速度的关系，
以上两个发射速度平方都要加上2Rg，
（4）
方案1修正为
方案2修正为
为什么以地球为参照系？
i) 质点组动量矩定理
 质点组动量矩定理
质点组对于某点的动量矩的时间变化率就等于质点组的各质点所受外力对该点的力矩的和。
ii) 质点组的动量矩与质心的动量矩
y’
质点组对于z轴的动量矩
质点组对于O点的动量矩L=质心对于O点的动量矩L0+质点组对于质心的动量矩L’。
iii) 质点组动量矩守恒原理
质点组对于某点的动量矩守恒
面包为什么涂黄油的一面着地？
 相图 （分析运动状态的图解）
例：光滑桌面上的弹簧振子。（质量为m，弹簧的劲度系数为k）作（1）V势x曲线，（2）v速度x曲线，并讨论其运动情况。
例：研究摆长l为的复摆运动。作(1)V重力势曲线，(2)曲线，并讨论其运动情况。（细杆质量忽略，近似为单摆）
例（P215）：半径为R的圆环状细管在水平面内以匀角速绕A点转动。管的内壁是光滑的。求解质点M在其相对平衡位置附近作小振动的周期，及约束反力。
求解及分析
在转动坐标系中，仅惯性离心力(保守力）做功，重力、约束反力、科氏力不做功。根据机械能守恒原理
非对心碰撞（斜碰）
 碰 撞 Collisions（2-D）
 在垂直于联心线的方向两球各自运动（Y轴方向）
 在联心线方向两球相互压缩后恢复（X轴方向）