例：求线框(b>a)所受力和力矩；线框平衡时的θ的值，
并判定平衡的稳定性；线圈从平衡位置旋转π/2长直电
流对线圈做的功。
解：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
专题五、安培力　载流导体受安培运动
(6)
将(1)、(2)、(3)、(4)、(6)式代入(5)式得
(7)
F 与 x 夹角为
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
将式(11)、(12)代入式(8)、(9)，再代入式(10)，经化简得
(13)
力臂：
(14)
(15)
例：匀质金属圆环（红色）质量为m，半径为r，当在环中通电流I时，环平衡在超导平板上方z=h（r>>h)处。试求：1、环中电流I；2、让环保持水平状态从平衡位置向上或向下稍偏移，试求振动周期；3、让环在平衡位置绕其与x轴平行的直径pp’转一小角度θ，试求环的摆动周期。
解：1、环电流的磁场在超导板中形成感应电流。超导板内无磁场，板外表面附近磁场沿板面切向。感应电流用镜像环电流等效。因r>>h,故环电流受力
2、环上移ΔZ，则环受力
3、环上环元（rdφ)的坐标为
φ
环元受力为
环元对轴pp’受重力矩为零，受安培力矩为
环对轴pp’的转动惯量为
环对轴pp’转动的运动方程为
专题九、洛仑兹力　带电粒子受电磁场力运动
例: 如图1所示，分布在全空间均匀磁场 B 的方向垂直于图平面，一质量为 m 、电量为 q <0 的粒子以速度 v0 从y 轴上的 Q 点开始运动，运动中受到沿运动轨迹切向、大小恒定的阻力 F 。已知出发点坐标为(0，mv0/ qB)。 1、求粒子运动的轨迹方程；
2、若F=qv0B/ π，求粒子的最终位置。
图1
解: 1、粒子运动轨迹的切向受到大小恒定
的阻力 F，法向受洛仑兹力，则
(1)
专题六、带电粒子在电磁场力作用下运动
设粒子运动 轨道的曲率半径为 ρ ，则
图2
(3)
(2)
由(1)、(2)、(3)式知，粒子的运动速率均匀减小，曲率半径均匀减小，角速度不变。现确定曲率中心 D 的轨迹 (渐近线)。曲率中心 D 的速率为
作ρi、ρi+1的垂线，交于O点
由此知：曲率中心 D 的轨迹(渐近线)是一半径为R的圆。则
2、由动能定理得
粒子运动时间：因受不变阻力，所以vt = 0时粒子停止运动。
将t 代入运动轨迹方程得
例 如图所示，长方形磁极的长度L远大于两极间距。除边缘外，两极间的

磁场是均匀磁场，磁感应强度为B0，边缘部分磁感应线弯曲(如图)。取如

图所示o-xyz坐标系。电量为q(>0)的带电粒子从x =x0处以平行于z轴的初始

动量p0(p0>>qB0L)从磁极左侧射入场区。试求：

粒子通过场区后，在YZ平面 上的小偏转角θy；

试证明粒子通过场区后，在XZ平面上的小偏转角近似为
（3）在X轴上取一段直线
初始动量均为P0）从此段直线上各点出发射向场区。忽略粒子间的相互作

用。试证明这些粒子将会聚在Z轴的某点处，该点与磁极右侧面的间距称为

焦距f，试导出f的表达式。
，设有一束粒子（电量均为q、
；
解　（1）设粒子的质量为m，初速度为v0，则
因为
故粒子的动量在磁场中变化很小，偏转很小，粒子
在磁场中的运动可视为速率为v0的园弧运动，圆半
径为
不计边缘效应，则

即
很小，故近似有
（2） 粒子到达磁极右侧面时，y 正方向的速度分量为
因磁场弯曲，边缘磁场有
分量，则粒子受X方向的洛伦兹力，
，
为负；
为负时，
为正。洛伦兹力的大小为:
粒子在X方向的加速度为:
粒子在dt 时间内，在X方向的分速度增量为:
粒子在Z方向的位移是:
为正时
代入
设磁极右侧面的Z坐标为Z0，则
为计算这一积分，取一足够长的矩形回路L（abcda)，则由环路定律得
求得
负号表示速度负X方向
（3） 由上式知：
，则
，粒子向下偏转；
，则
，粒子向上偏转，粒子会聚。粒子会聚点与电极右侧面的距离为
即焦路，所以

例: 如图1所示，分布在全空间均匀电场E的方向与+y轴平行，分布在
0≤y≤L区间的均匀磁场B的方向与+Z轴平行。今有一质量为m，电量为q
(q>0)的质点在x=0、y=-h、z=0的p点静止释放。设h≥0。
（1）为使带电质点的运动规道恰好与y=L的平面相切，求h应满足的条件。
（2）若h=0，且带电粒子的运动不走出磁场区，试写出质点x、y分量的运
动方程。
图1
解： （1）求质点到达o点的速度
（沿+y方向）
设粒子在电场、磁场区任一点的速度分量为
则
即
在坐标原点o：
则
在y=L点o：
两式联列得：
例 如图所示，半径为R的光滑绝缘圆环固定在水平面上，环所在的与水平面垂直的长直圆柱体空间有均匀磁场，圆柱体外无磁场，磁感应强度的方向如图所示。圆环内有一质量为m 的绝缘刚性细杆ab，其上均匀分布电量为Q的正电荷。杆中心与环心的距离为R/2，杆两端被约束在圆环上并可在环内作无摩擦运动。初始时刻杆静止，尔后，磁场B的大小按B=B0sinω0t变化。杆在环内先逆时针转过2π角,再顺时针转回2π角，并如此不断交替。设杆的运动不改变杆上的电荷分布，杆的转动惯量为I=mR2/2=2mD2。①试求t时刻杆的旋转角频率； ②确定ω0与m、Q、B0之间的关系；③求环对杆两端所施的作用力Na、Nb。
解 (1) 杆运动中受的力有：涡旋电场力；洛伦兹力；环对杆端的作用力。
设
，则
在x 轴 (细杆)上取dx 一段，其上电荷为
定轴转动定理
t 时刻杆转过的角度
θ在0 和
之间变化。当t从0增至
时，θ从0 逆时针增为
，t从
增至
时θ从
顺时针减为0 。由题给条件，应有
（2）涡旋电场力Y分量相消，X分量为
洛伦兹力：dx 的速度为ωr，其洛伦兹力指向O’。
其X分量相消，Y分量为
因
，即
，则
(杆的质心作圆周运动的向心力)
环的压力
因
故
因杆的质心在r方向无运动，故FLY和NY的合力使杆的质心作圆周运动，即
杆质心X方向(切向)的运动方程为
从而有
以上两方程联立得