专题七、电磁感应
例
解
当kd=(2n+1)π，即
当kd=2nπ，即
例（A12）半径为　　和 　　的两圆形电流环同心共面放置，　　　　　，小环中电流强度为　　，且　　随时间的变化率为　　，大环中电流为　　。求：1、两环的互感系数M；2、大环中的互感应电动势 ε； 3、大环圆周上的切向感应（涡旋）电场强度 Ε ；4、在大电流环圆周上某点放置一电量为Q的点电荷，然后拿走大电流环。当小环中电流强度在较短时间内从　　变为零的过程中，点电荷Q 所受的切向冲量ΔP；5、长为 L 、横截面积为 A 的绝缘空心管内有带电粒子沿轴向运动形成电流，已知每个运动带电粒子的质量为 m 、电量为 q ，速度相同，带电粒子的数密度为 n ，管内电流强度为 。考虑相对论效应，试给出管内带电粒子的总动量 P ；6、用第5小题中的绝缘空心管做成的边长为ｌ的正方形电流环取代第3小题中的圆形小电流环，设环很重，不计其运动。环中同一截面载流子速度相同，不计载流子间相互作用。试计算正方形环中载流子的总线动量 Phid，这个动量称为“隐藏动量”；7、用线圈的磁矩μ＝IS 来表示第4小题和第6小题的答案（1/μ0ε0＝c2）。
解：1、大电流环环心处的磁感应强度为
小环的磁通为
互感系数为
2、小环对大环的互感磁通为
大环的互感电动势为
3、
4、Q受到的冲量
5、
6、设正方形线框右、左两边载流子的线密度和速度分别为λ1、ｖ1、λ2、ｖ2，两边的洛伦兹因子分别为γ1和γ2。则有
载流子从环的左边运动跑到右边能量守恒，即
左、右两边载流子的总动量为
注意：上式中已不含载流子的微观量 ｍ、ｑ、λ、ｖ。
7、用磁矩表示第4、6小题中的ΔP和 Phid。
我们看到，以上两式相同
例(22决) 如图所示，O O’为固定不动的半径为a1 的圆柱金属轴，其电阻忽略。一内半径为 a1 、外半径为a2 、厚为h(<两端。S一端接金属轴中心 X 处，另一端用环形电刷接圆盘边缘 Y 处。此装置可看作一圆盘电动机。设电动机空载（不带任何负载）达到稳定时圆盘的角速度为ω0；有负载时（图中未画出）圆盘转动达到稳定时圆盘角速度用ω表示。不计一切摩擦，问
圆盘电动机
1、当电动机输出机械功率 P 最大时，ω 与 ω0之比等于多少？
2、在1的情况下圆盘的发热功率为多少？
解：1、接通电路后，电流　　沿
径向流过圆盘，圆盘受安培力矩
转动。圆盘切割磁力线，产生电
动势E。装置的等效电路如图所示
。图中R为圆盘电阻，E为圆盘中
的感应电动势。这时有电路方程
即
（1）
①环形圆盘中感应电动势的计算
（2）
或　　圆盘某辐条在Δt 时间内扫过的角度为Δθ，则扫过的面积为
磁通为
感应电动势为
（2）
②环形圆盘电阻的计算
环形圆盘可看成由 n 个窄圆环串联而成，第个窄环的电阻为
③空载（i=0)达到稳定时的角速度
圆盘空载转动形成感应电动势E，
当E＝E0＝IR0　时，i=0，磁力矩
为零，圆盘以ω0匀速转动。
（3）
由（2）式得
（4）
（5）
④输出最大机械功率的计算
有（负载）机械力时，由（1）、（2）式得
（6）
第j 个小圆环所受安培力的功率为
（7）
圆环所受安培力的总功率为
（8）
圆环所受安培力的总功率和（负载）机械力功率相等时，转动达到稳定，
则电动机输出的机械功率即
令
则
（8）
由（8）式知输出最大机械功率最大条件为
（9）
由（5）式和（9）式知
（10）
2、电动机输出最大功率时，圆盘转动角速度为
这时的电流由（1）、（2）、（5）式得
（11）
圆盘电阻热功率为
（12）
知识点：装置的电路模型；电路方程的建立；动生电动势的计算；
　　　　大块导体电阻的计算；安培力及其功率；焦耳热功率；
　　　　电动机空载和有载时的稳定转动概念。
例(27决) 如图(a)所示,十二根均匀的导线杆联成一边长为l的刚性正方体,每根导线杆的电阻均为R,该正方体在匀强磁场中绕通过其中心且与abcd 面垂直的转动轴作匀速转动，角速度为ω。己知磁感应强度大小为B,方向与转动轴垂直,忽略电路的自感。当正方体转动到如图(b)所示的位置(对角线db与磁场方向夹角为θ)时，求
1、通过导线 ba、ad、bc和cd 的电流强度。
2、为维持正方体作匀速转动所需的外力矩。
解：1、设t 时刻线圈如图(b)所示，则
(1)
(2)
根据电路的对称性可知
(3)
根据基尔霍夫第一定律，有
(4)
(5)
根据基尔霍夫第二定律，有
(7)
(6)
根据(1)—(7)解得
(9)
(8)
2、当正方体转动到任意位置(对角线db与磁场夹角为任意θ)时，通过a'a、cc'、b'b、dd'的电流
(13)
(12)
(11)
(10)
为维持正方体作匀速转动所需的外力矩等于磁场对电路作用的合力矩，即
例（29F5)　如图所示，半径分别为　R1、
R2 的细金属圆环同心共面放置在水平桌面
上，R1>>R2，小圆环金属表面绝缘。两圆
环单位长导线的电阻均为 r0 ，磁感应强
度为 B 的匀强磁场垂直于图平面向里。一
单位长电阻来 r1 的长直金属细杆放在大圆
环上，并从距环心左侧为 R1/100 （＞R2）
的位置 ab 处，以速度 v 匀速向右沿环平
面滑动到相对环心与 ab 对称的位置 cd 处
，滑动过程中金属杆始终与大圆环良好的接
触。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线
横截面的电荷量。（假设大圆环和金属杆中的电流在小圆环处产生的磁场为匀强磁场。半径为 R、长为 l 的圆弧电流I在圆心处的磁场为
　　　　　　，长直电流 I 在距电流 r 处的磁场为 　　　　　　　。
解： ab滑动产生动生电动势，大小为：
(1)
(2)
将（2）式代入（1）式得
(3)
以 、 和 分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图所示

以 、 表示a、b两端的电压，由欧姆定律有
(4)
(5)
根据提示得
(6)
(7)
(方向竖直向上)
(方向竖直向下 )
由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁

感应强度为
(8)
于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场。金属杆在ab位置时，杆中

电流产生的磁感应强度大小为
(方向竖直向下)
(9)
杆中的电流
(10)
(11)
利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得
(13)
(14)
(12)
当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为
同理，当长直金属杆滑到cd位置时穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为
(15)
小圆环中产生的感应电动势为大小为
(18)
(17)
(16)
小圆环导线中产生的感应电流为
在Δt内通过小环导线横截面的电荷量为
例（29j5) 如图所示，一半径为R的轻质绝缘塑料薄圆盘水平放置，可绕过圆盘中心的竖直固轴无摩擦地自由转动。一半径为 a 的轻质小圆线圈(a ＜＜R)固定在盘面上，圆线圈与圆盘共轴。在盘边缘处等间隔地固定4个质量均为m的带正电的金属小球，每个小球所带电荷量均为 q 。此装置处在一磁感应强度大小为Bo、方向竖直向上的均匀强磁场中。初始时圆盘静止，圆线圈中通有恒定电流I，方向沿顺时针方向（从上往下看）。若切断圆线圈中的电流，则圆盘将发生转动。求薄圆盘稳定转动后，圆盘在水平方向对每个金属小球的作用力的大小。假设金属小球可视为质点，不计小圆线圈的自感和带电金属小球因运动所产生的磁场。　　已知固定在圆盘面上的半径为a、通有电流 I的圆线圈在圆盘面内、距线圈圆心的距离为 r 处（r>>a）产生的磁场的磁感应强度的大小为： ， 式中km为已知常量，当线圈中的电流沿顺时针方向时，盘面上磁场方向垂直盘平面且竖直向上。静电力常量为ke 。
解：电荷受的力：①切断线圈中的电流时，变化的磁场将产生涡旋电场 Ec，所以电荷受到涡旋电场力；②运动电荷受磁场洛仑力；③电荷受圆盘的约束力；④电荷间的相互作用力。　　先求电荷受的涡旋电场力和力矩。由对称性知圆盘边缘处的涡旋电场处处相等，则有
（1）
（2）
（3）
切断电流，磁场消失，磁鑀改变量：
由（1）、（2）、（3）得
涡旋电场沿顺时针方向，涡旋电场
对4个电荷作用力的合力为零，合力
矩 L 不为零，小球带动圆盘转动。
（4）
（5）
4个小球的冲量矩为
（6）
设小球的转动角速度为ω，则由角动量定理得
（7）
（8）
金属小球转动时受 B0 的磁场力，其方向沿圆盘半径指向圆心，大小为
（9）
任一金属小球受另外三个金属小球的电场力沿圆盘半径方向，大小为
（10）
设圆盘稳定转动后，在水平方向对每个金属小球作用力的大小为 f ,则
（11）
例 一圆柱形小永久磁棒竖直放置(如图) ，在其正上方离棒中心1 m处的
磁感应强度为B。,一超导圆形小线圈自远处移至磁棒正上方，与棒共轴，
设线圈的半径为a，质量为m，自感为L，线圈只能上下运动．
求平衡时线圈离棒中心的高度Z0．已知a<(2) 求线圈受小扰动后作上下小振动的周期（用Z0表示）.
N
S
解：(1) 小磁棒看成一小线圈磁矩，则Z处的磁场可表示为
当线圈平衡在 Z0处时，设线圈中的电流为I0，则有
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
用磁场的高斯定理求Br:
线圈受力平衡，即

(6)
求得
(7)
利用(3)、(4)式得
(2)线圈在平衡位置上移小量ΔZ，则线圈中电流变为I0+i，由(2)式得
(8)
线圈受力
由(5)式得

以(8)式代入上式，并利用(6)式得
则
例 图 Oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐标系，在x＞0的一侧，存在匀强磁场，磁场方向垂直于Oxy平面向里，磁感应强度的大小为B．在x＜0的一侧，一边长分别为l1、和l2的刚性矩形超导线框位于桌面上，框内无电流，框的一对边与x轴平行．线框的质量为m，自感为L．现让超导线框沿x轴方向以初速度v0进人磁场区域．试定量地讨论线框以后可能发生的运动情况及与初速度v0大小的关系（假定线框在运动过程中始终保持超导状态）
例
运动方程为：
半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动．因为在这种情况下xm的最大值是l1，故有
发生第①种情况要求：
①框的初速度v0较小，简谐振动，有
振动的振幅 ：
求得运动速度：
②当
设 x = l 1 ，时间间隔从0到 t1 ，则 有
线框全部进入磁场区域则匀速前进，由
例 一直导体MN和一半径为R的金属圆环彼此重叠放置在水平面上，直导线MN固定不动，距金属圆环心O的距离为 r/2，金属环静止时与直导体的交点电接触良好，导体和金属环单位长度的电阻均为 r 0,金属环单位长的质量为 m0。空间存在一均匀磁场，磁感应强度为 B ，方向垂直于水平面的向下(见图示)。求：当迅速撤除磁场后金属圆环泊运动速度。
解
(2)
(1)
(3)
对回路adcea有
设图示电流，对回路abcea有
联立(1)、(2)、(3)式，解得
(向左)
(向右)
例 圆柱形区域有磁场B=B0sinωt，光滑绝缘
细管MN=2R固定在x轴上并相对y轴对称。
MO’与OO’之间的夹角为θ0。质量 m、电量
q的正点电荷t=0时位于M点。发现点电荷q
在MN间以O为中心作简谐振动。试求：
（1）点电荷的振动频率ω球与B0、θ0、
q、m的关系；（2）点电荷对管壁作用力
的y分量NY。
解（1）
小球加速度的X分量为：
小球的位置为：
由此可得：
（1）
（2）
由（1）、（2）两式得
故
（2）小球所受涡旋电场力的Y分量为
小球所受洛伦兹力只有负Y分量，为
小球在Y方向受力平衡，故