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高中物理竞赛光学试题
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例1、证明：入射到光纤一端的光线锥的最大夹角为
2a
n1
n2
证明：
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例2、设曲面 S 是有曲线 CC’ 绕 X 轴旋转而成的。曲面两侧的折射率分别为 n 和 n’，如果所有平行于X 轴的平行光线经曲面折射后都相交于X 轴上一点 F，则曲面成为无像差曲面，已知OF = f，求曲线所满足的方程。如果 n’ = - n’，结果如何？
C’
解：
F
f
A
B
分析－－解本题可用折射定律求曲面法线方程的方法，再结合已知条件，可求得CC’曲线方程。
用等光程原理求解本题更简单
n
n’
4
C’
C
O
X
Y
F
f
A
B
(x, y)
选取一条入射光线AB
和一条沿 X 轴入射
的光线;
n
n’
等光程：
几何关系：
CC’曲线方程：
n’ = - n’ 时：
椭圆方程
抛物型反射镜
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例1 有一半导体发光管，发光区为半径为 r 的圆盘，发光面上覆盖一折射率为 n、半径为 R 的半球型介质，如图所示。问：要使发光区发出的全部光线在球面上不发生全反射，介质半球的半径 R 至少应多大？（第11届全国中学生物理竞赛题）
解：
第一步：全反射条件
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O
A
P
第二步：反射光的几何性质
考察任意一点 A 发出的光线在球面上任意一点P 反射后的光线
因此反射光线一定在 APO 平面内，与发光面交点 B 在 AO 延长线上，即AO所在的直径上
A点发出的其它光线反射后都与 AO所在的直径相交
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第二步：数学推导
E
F
P
EO区内E点光线的入射角iE最大，同样FO区内F点的光线的入射角iF最大;
求 F点光线的最大入射角
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例2 图示一个盛有折射率为 n 的一体的槽，槽中的中部扣着一个对称屋脊形的薄璧透明罩ADB,顶角为2q，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB 的中点有一亮点 C。 试求出：位于液体上方图示平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件（液槽有足够的宽度；罩璧极薄，可不计它对光线产生折射的影响）
（第13届全国中学生物理竞赛予赛题）
解：
A
B
D
n’ = 1
n
C
q
在液面上折射时，所有光线都发生全反射时，则光线出不来。
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A
B
D
n’ = 1
n
C
q
a
b
g
全反射条件：
E
F
只要 g 的最小值小于临界角，则总会有光线出来
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例3： 一块平行平板，其厚度为 d，光线 从O点垂直入射，若平板折射率按 变化，q 为常数，并在 A
点以 a 角出射，求 光线轨迹、A 点的位置和平板的厚度。
A
a
O
X
Y
d
解：
折射定律决定光线在每一点的方向，从而确定光线的轨迹；
介质折射率连续变化，可将平板沿 X 方向切成一系列薄片，对每层薄片应用折射定律。
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A
a
O
X
Y
d
bx
P(x, y)
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例4、 一个透明光学材料，折射率在 y 方向向两侧对称地降低： ，在xoy 平面内有一光线以入射角qo=30o 射向O点，求此光线能到达离 X 轴最远的距离。
O
X
Y
解:
q0
从上题可知，光线进入折射率非均匀介质后弯曲，而且是倾向于向折射率大的方向偏折。
从图可知：光线 X 轴最远点
为切线在水平方向时的切点处。
沿Y 方向分割成一系列薄层，应用折射定律。
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例5、图示三棱镜的顶角 a ＝60o，在三棱镜两侧对称位置放置焦距均为 f = 30cm的两个完全相同的凸透镜 L1和 L2，若在 L1 的前焦面上距主光轴下方 y =14.3cm 处放一单色点光源 S，已知其像 S’ 与 S 对该光学系统时左右对称的，试求该三棱镜的折射率。(第19届全国中学生物理预赛题）
F
f
y
S
S’
L1
L2
解：
分析：光路系统及物像左右对称，考虑到光线的可逆性原理，
因此在棱镜内部分的光线一定是平行于棱镜底边
a
n = ?
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F
f
y
S
S’
L1
L2
选取一条特征光线－－通过透镜光心的光线
i1
i4
i3
i2
a
几何关系：
b
n = ?
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例7、两透镜组合系统如图，已知一个物经整个系统成像位置和大小如图中所示。试用作图法求物经 L1 成像位置与大小，作出 L1 及透镜组合系统的焦点位置（画出物方或像方中的一个即可），说明 L1 和 L2 的凹凸性。
L1
L2
解：
物P
像P’
物点P发出的光线1通过 L1 光心；
通过像点P’并经过 L2光心的光线2’ ；
光线1经过 L2 后的光线1’ 的延长线通过像点P’；
在 L2 上对应于2’ 的入射光线为2 ；
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L1
L2
物
像
3
1
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例8、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴方向放置一细条形发光体A1A2（如图示），其长度为l=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此外可能还有亮度更暗的像不必考虑），当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上跟着移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为a2=0.020m，试利用以上数据求出此玻璃球的折射率 n（计算时只考虑近轴光线）。
O
A1
A2
a2
解：
n
R
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O
A1
A2
a2
求光轴上一点A（在O左方a处）的A经过三次所成的像，
R
注意点：半球的 r = -R
n
l
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例9、一块玻璃台板厚度为 d，折射率为 n，看到压在台板下的报纸上的字相对于真实位置要上移一个距离 l，试求 l。
S
S’
n
d
l
O1
O2
解：
例如 n=1.5，l= d/3
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例10、长度为 h=4mm 的物体由图示的光学系统成像。光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均标于图中。求：1）像的位置；2）像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。
（第13届全国物理竞赛复赛题）
A
B
6cm
10cm
5cm
L1
L2
45o
6cm
n=1.5
f1=20cm
f2=10cm
解：
分析－－
棱镜不仅起反射作用，两个直角面上的折射也必须考虑；
AB经过棱境全反射后，再分别经L1和L2成像；
棱镜反射相当于反射镜，两次折射等效于平板玻璃的作用。
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10cm
5cm
L1
L2
45o
6cm
n=1.5
f1=20cm
f2=10cm
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A’
B’
L1
L2
作图
F1
F’2
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例11、在图示的费涅尔双棱镜实验中，已知狭缝光源S的波长为l、棱镜折射率为n、棱角a很小，设光源S到棱镜的距离为L1，（1）求距棱镜L1处的屏上条纹的间距。（2）若用折射率为n’的肥皂膜遮住棱镜的一半，发现条纹上下移动了a，求肥皂膜的厚度。
解：
L1
L2
屏
a
n
X
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求等效光源S1和S2的间距d ：
L1
L2
屏
a
n
O
d
q
X
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例12、一块玻璃平板放置在边长为2cm的玻璃立方体上，两者之间有一层平行的空气隙。波长在0.4mm到1.15um之间的电磁波初值垂直入射到平板上，经空气隙两边表面反射而发生干涉。在此波段只有两种波长获得极大增强，其一是l1=0.4mm。求空气隙的厚度。
(第3届国际奥林匹克题）
解：
下表面反射的光要比上表面反射的光多走2d的光程
d
在玻璃表面反射时，有180o的相位改变（半波损失）
干涉增强条件：
和
可筛选出k1和k2的可能值：
k1=2 和 k2=1
l2=0.667mm
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例13、沿着肥皂膜法线成45o角的方向观察时，膜显绿色(l1=500nm)。设肥皂膜折射率为1.33，求：(1)肥皂膜的最薄厚度。(2)如改为垂直观察，膜是何种颜色？
解：
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例14、两平板玻璃间构成劈形空气膜，波长为500nm的单色光正入射时，观测到膜上的干涉条纹间距为1mm，求劈角a。
a
分析－－
光程差
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图示：平板平整度的检测
条纹
亮条纹位置
例14的讨论：
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例15、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径小孔直径为d，暗盒中像成在小孔厚距离为D 的感光胶片上，物体位于小孔前L处，所用照明波长为 l 。
（1）估计成像清清晰时小孔半径的大小；

（提示：函数 ，对于 x > 0， 时， y 最小）

（2）若使用（1）中算出的小孔，试问物体上两点间的
最小距离多少时，两点的像是可分辨的？
A
d
D
L
解：
分析－－
30
分析－－
A
d
D
L
31
（1）像最清晰时的小孔直径：
a
A
d
D
L
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例16、可见光垂直入射到一个每毫米有250条狭缝的衍射光栅上，
在衍射角30o处会出现什么波长的光？