力学竞赛辅导漫谈
序
1.物理竞赛辅导的目标
2.物理竞赛辅导具体任务
（1）竞赛所需的物理知识；
（3）解决赛题的思路方法；
（2）物理问题的思维方法；
（4）提高选手的赛场情商。
3.竞赛试题与常规考题之间的区别：
（1）考查的问题原型相同，但是综合性或复杂性更强。
对策：熟悉各种原型问题。
（2）在试题的入手上设置障碍，让人难以下手，实际上还是对应于一些基本的物理原型。
对策：识破题目的障眼法，找到原型。
(3) 题目的物理过程较多，有的是同一个物理原型的反复运用，加上各种物理情形的讨论，有的是多个不同物理原型的综合。
对策：养成严谨的思维习惯。对于讨论题不要想当然，问问自己，有几种可能？都要考虑进去。
1、运动学
参照系。质点运动的位移和路程，速度，加速度。
相对速度。
矢量和标量。矢量的合成和分解。
匀速及匀速直线运动及其图象。运动的合成。抛体运动。圆周运动。
刚体的平动和绕定轴的转动。
力学竞赛内容提要
2、牛顿运动定律
力学中常见的几种力
牛顿第一、二、三运动定律。惯性参照系的概念。
摩擦力。
弹性力。胡克定律。
万有引力定律。均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）。开普勒定律。行星和人造卫星的运动。
3、物体的平衡
共点力作用下物体的平衡。力矩。刚体的平衡。重心。
物体平衡的种类。
4、动量
冲量。动量。动量定理。
动量守恒定律。
反冲运动及火箭。
5、机械能
功和功率。动能和动能定理。
重力势能。引力势能。质点及均匀球壳壳内和壳外的引力势能公式（不要求导出）。弹簧的弹性势能。
功能原理。机械能守恒定律。
碰撞。
7、振动
简揩振动。振幅。频率和周期。位相。
振动的图象。
参考圆。振动的速度和加速度。
由动力学方程确定简谐振动的频率。
阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。
8、波和声
横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。
波的干涉和衍射（定性）。
声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。乐音和噪声。
6、流体静力学
静止流体中的压强。
浮力。
话题1 刚体质心的确定：
（1）定义法（坐标法）
xC=∑mixi/mC
C的位置定义在坐标(x,y,z)
yC=∑miyi/mC
zC=∑mixi/mC
例1 如图所示，一根竖直悬挂着的无限长细线上等距离地固定着n个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a。已知最上端小球与悬点之间距离也为a，它的质量为m，其余各球的质量依次为2m、3m、……，一直到nm。求整个体系的质心位置到天花板的距离。
(2n+1)a/3
（2）力矩法
例2 如图所示，一个质量均匀、半径为R、质量密度为σ的薄板。现沿着一条半径挖去其中半径为R/2的圆形薄板，求剩余薄板的质心位置。
质心在原来圆心、挖去薄板圆心所在的直径上，在圆心O的另一侧，与O点距离为 R/6.
例3 如图所示，一根细长轻质硬棒上等距离地固定着n个质量不等的质点小球，相邻两个小球之间的距离为a。已知最左端小球与左端点之间距离也为a，它的质量为m，其余各球的质量依次为2m、3m、……，一直到nm。求整个体系的质心位置到左端点的距离。
(2n+1)a/3
（3）巴普斯定理
1.内容：一个平面物体，质量均匀分布，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程。
2.讨论：
（1）若面物体上各质点以相同速度沿着一条与物体平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是柱体。定理显然成立。
（2）若面物体上各质点速度不等，质心将沿曲线运动，平面物体在空间扫出一个不规则体积。定理可证成立。
例4 一直角三角形板质量分布均匀，两直角边长度分别为a和b，求质心位置。
已知结论：
质心将位于三中线交点。
验证：设质心位置坐标为（x,y)
令直角三角形绕直角边a旋转一周，形成圆锥。
x=b/3
同理可得，y=a/3.
思考：半径为R、均匀半圆板的质心位置。
设质心离a边x，则
例5 确定半径为R、质量分布均匀半圆形金属线环的质心位置。
解析：以AB为轴将线环旋转360°，得一球面，得
即：扫过的曲面面积＝质心在运动中走过的路程×曲线长度。
思考：1/4周长的线环呢？
话题2. 静力学问题解题思路。
受力分析；
写出静力学平衡方程 ：
x方向上的平衡方程；
y方向上的平衡方程；
力矩平衡方程。
确定研究对象；
↓
↓
在平衡力的作用下，物体保持匀速直线运动或静止状态，因此一个平衡力系统与物体不受力的情况相同，即合外力和合外力矩为零。
F=ΣFi=0 M=ΣMi=0
对于某个力的力矩大小与支点或转轴（或矩心）有关，因为力矩与力臂成正比，但力矩的平衡条件与支点或转轴无关。
平衡条件的解析式为
例6 一质量分布均匀的梯子AB，一端放在水平地面上，另一端搁在竖直墙上，梯子与地面、梯子与墙面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，求梯子平衡时与地面所成的最小夹角θ。
关键：判断临界情况下，A、B两端同时达到临界，A端达到B端未达到，或是B端达到而A端尚未达到？
结论：梯子与地面成最小夹角θ而平衡时，A、B端同时达到最大静摩擦力。
水平：N2＝f1
竖直：N1＋f2＝mg
而 f1＝μ1N1
f2＝μ2N2
设梯子长度为l，以B为支点，则
mg（l/2)cosθ+ μ1N1lcosθ=N1lcosθ
例7 三个完全相同的圆柱体，如图所示，叠放在水平桌面上，将C 柱体放上 去之前，A、B两柱体接触但无挤压。 假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ，若系统 处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？
对C：
A的水平方向，有
A的竖直方向，有
解得
可以证明，各接触点的摩擦力大小相等。
话题3.虚功原理
1.虚位移 质点或质点系在给定瞬时约束系统许可的微小位移。
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
2.虚功 力在虚位移上所做的元功。
记为
3.虚功原理 质点或质点系在平衡状态下，所有力在任何虚位移上的虚功之和为零。
静力学的普遍原理
虚位移与实位移
例8 重为W的6根均匀刚性棒光滑绞合成正六变形ABCDEF,顶边AB棒水平固定在天花板上，问在底边DE的中点加一个多大的竖直方向的力F，可维持正六边形的平衡？
解析：六根棒的重心在正六边形的几何中心。
设底边DE在外力F作用下缓慢地上升很小的位移δx，则其重心升高δx/2。
由虚功原理 有 F· δx=6W · δx/2
故 F＝3W
例9 如图所示，一个半径为R的四分之一光滑圆柱面固定在水平桌面上，柱面上有一条单位长度质量为ρ的均匀铁链。铁链因A端受到水平拉力F的作用而平衡，B刚好与桌面接触，求水平拉力F的大小。
设在A端施加一个水平力F，且有虚位移δr。则有
话题4 非惯性系和惯性力
牛顿运动定律只在惯性系中成立。相对惯性系做加速平动和加速转动的参照系就是非惯性系。
如果非惯性系平动加速度为a，那么只要认为非惯性系中所有物体都受到一个大小为ma、方向与a相反的惯性力，牛顿定律同样适用。
例10 一个质量为M、斜面倾角为θ的劈A放在水平地面上，斜面上放上一块质量为m的滑块B。现将系统由静止释放，求释放后劈A对物块B的压力、劈A相对地面的加速度各是多少？（不计一切摩擦）
Nsinθ=MaA, (1)
对A,
解之得
Nsinθ=maBx, (2)
mg－Ncosθ=maBy, (3)
aBy = (aBx+aA)tanθ (4)
对B,
A、B加速度关联,
解析方法1：
－牵连加速度
Nsinθ=MaA, (1)
对A,
以A为参照系,对B物引入惯性力F=maA，
在以A的坐标系中，物块B沿斜面加速下滑，垂直斜面方向加速度为零。（在地面参考系中并非如此。）
N＋Fsinθ=mgcosθ, (2)
F=maA, (3)
解之得
解析方法2：
－引入惯性力
假设m相对M的加速度为a2，方向沿斜面向下。
解析方法3：
－加速度还原法
话题5 多物追及和相遇问题
【源题】(全俄中学生物理奥林匹克竞赛题)两两相距均为l的三个质点A、B、C，同时分别以相同的匀速率v运动，运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置、B始终指着当时C所在的位置、C始终指着当时A所在的位置。试问经过多少时间三个质点相遇？
解析：根据题意，三质点均做等速率曲线运动，而且任意时刻三个质点的位置分别在正三角形的三个顶点上，但是这个正三角形的边长不断缩小，如图所示。现把从开始到追上的时间t分成n个微小时间间隔△t（△t→0），在每个微小时间间隔内，质点的运动可以近似为直线运动。于是，第一个末三者的位置A1、B1、C1如图所示。这样可依次作出以后每经△t，以三个质点为顶点组成的正三角形A2B2C2、A3B3C3、……设每个正三角形的边长依次为l1、l2、l3……ln。显然，当ln→0时，三个质点相遇。
解法一：由前面分析，结合小量近似有：
……
以上各式中，△t→0，n→∞，并有n△t =t，ln→0（三人相遇）。
所以，三个质点一起运动到目标于原正三角形ABC的中心，所需的时间为
解法二：设t时刻三角形边长为x，经极短时间△t后边长变为x′。根据图中的几何关系，应用三角形的余弦定理可得
在△t→0时，可略去二阶小量△t 2项，因此
这表明等边三角形边长的收缩率为3v/2。
从初始边长l缩短到0需时间为
解法三：因为每一时刻三个质点总在正三角形的顶点上，且运动过程中A的运动速度方向始终指着当时B所在的位置，所以此时质点A速度方向与AO连线的夹角恒为30°（O为中心点），即A的运动速度沿AO方向的分量vcos30°。质点B、C也是如此。在下一时刻，因为三质点队形如初，质点运动方向条件如初，所以质点A、B、C 的运动速度在质点与中心O连线方向的分量仍为vcos30°，且为定值。最终三质点相遇在O点，所以每个质点在质点与中心O的连线方向上运动了2lsin60°/3。
所以根据分运动与和运动的等时性，相遇时间
解法四：以B为参照系，在两者连线方向上A对B的相对速率恒为v+vcos60°。最终追及，相对运动距离为l，所用时间为
演变1：如四个质点从正方形顶点出发，已知正方形边长为l，结果如何？
（答案：t=l/v）
演变2：有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从正五边形ABCDE的五个顶点出发，以相同速率v运动，如图所示。运动中A始终朝着C，C始终朝着E，E始终朝着B，B始终朝着D，D始终朝着A，问经过多长时间五人相聚？（已知圆半径为R）
（答案：t=1.05R/v）
话题6 曲率半径问题
在向心加速度公式an=v2/ρ中ρ为曲线上该点的曲率半径。圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。我们应该注意到，这也造成了中学生对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。本文拟就曲线上某点曲率半径及确定方法作一些探讨。
曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。曲率K是用来描述曲线弯曲程度的概念。曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且ρ =1/K。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。
3．曲线上某点曲率半径的确定方法
（1） 从向心加速度an的定义式an=v2/ρ出发。
将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v和法向加速度an，再利用an=v2/ρ求出该点的曲率半径ρ。
例1 将1kg的小球从A点以10m/s的初速度水平抛出，设重力加速度g＝10m/s2，求：（1）在抛出点的曲率半径；
（2）抛出后1s时的曲率半径。
解析:（1）初时在A点向心加速度an＝g＝10m/s2，方向竖直向下，所以小球在曲线上A点的曲率半径ρA=10m.
证明：对于任意曲线y=f (x)，均可理解为x方向的匀速直线运动及y方向的变速运动的叠加。
例2 筑路工人把从山上挖出来的土石，盛在一个箩筐里，沿一条钢索道滑到山下。如索道形状为x2=4ay的抛物线，且箩筐及它所盛的土石可以看作质量m的质点。求箩筐自x=2a处自由滑至抛物线顶点时箩筐对钢索的压力大小。
抛物线x2=4ay上任意点的曲率半径
(3) 构造运动法
构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。
x=acosωt ,y=bsinωt
则vx= -ωasinωt , vy=ωbcosωt
ax= -ω2acosωt ,ay=-ω2bsinωt
在A（a，0）处，vy =ωb，ax=ω2a,
兰色部分：不贡献引力
红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个
质点M’，M’是红色部分的总质量
话题7 质量均匀球壳（体）内的引力
O
R
F
r
对处于球体内部的质点m而言
证明：一质量分布均匀的球壳对球壳内任一质点的万有引力为零。
解析：如图，设想在一均匀球壳内的任一点A处置一质量为m的质点，在球面上取一极小的面元△s1，以r1表示△s1与A点的距离。设此均匀球面每单位面积的质量为σ，则面元△s1的质量△m1= σ △s1，它对A点的吸引力为
又设想将△s1边界上各点与A点的连线延长分别与△s1对面的球壳相交而围成面元△s2，设A与△s2的距离为r2，由于△s1 和△s2都很小，可以把它们看作是一个平面图形，显然可以想象到它们是相似图形，因而面元面积比例关系为 .
由上述三式得△F1= △F2.
例 假设地球半径为R，质量分布均匀，一隧道沿某条直径穿越地球。现在隧道一个端口从静止释放质量为m的小球，求小球穿越地球所需的时间。小球运动中的阻力不计。
设质点m位于r处，它受到的引力
可见，当r＝0时，即小球位于地球球心O处，受到的引力为0。O为小球的平衡位置。
F是小球受到的回复力，r为小球离开平衡位置O 的位移大小，小球做简谐运动。
F∝r
(2003年复赛题）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想。其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示。在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星B就会从通道口冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？已知M＝20m，地球半径R0＝6400 km。假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的。
解析：自通道出口处将M和m待发射卫星同时自由释放，在通道中两物均会加速运动，碰撞地点发生在何处将是问题的关键。联想到沿地球直径开凿一条隧道时物体在其中将做简谐运动，我们猜想两物也会做简谐运动。所以，我们从论证物体的运动是否为简谐运动入手。
作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为 f=Fsinθ，而sinθ＝x/r，
解析：火车在巴黎和伦敦的地下铁道中作简谐运动。
巴黎到伦敦的时间
在铁道中点C处速度最大。
例题：假定巴黎和伦敦之间由一条笔直的地下铁道连接着。在两城市之间有一列火车飞驶，仅仅由地球的引力作动力。试计算火车的最大速度和巴黎到伦敦的时间。设两城市之间的直线距离为300km, 地球的半径为6400km，忽略摩擦力。
弹性正碰
（两球的相对速度沿球心联线）
动量守恒原理
话题8 碰撞问题
弹性斜碰呢？

m球方向最大偏转发生在其速度与vm矢径圆相切的位置，
如果μ>m，则最大散射角为180°。
证明：在质心参照系中运动质点m1与静止质点m2发生弹性散射后，两者速度大小不变，仅是方向发生变化。
设质心参考系的运动速度为v
（柯尼希定理）
动能关系有
由此可见，△ v1、△v2大小和方向与质量比值有关，两者的方向一定在同一直线上。
当然，对于每个质点来说，对于地面参照系的速度大小和方向与质量比值有关。
例题： N个相同的小球在光滑的水平桌面上均匀地排成半圆，它们的总质量是M。另外一个质量为m 的球从左边以速度v射向最边上的小球。在适当的初始条件下，m与所有的N个小球依次发生弹性碰撞，最后又径直向左离去。
(1)在N→∞的极限下，发生上述碰撞M/m要满足什么条件？
（2）m离开半圆的速度是多少？
（2）
设质心参考系的运动速度为V
在质心参照系中m被散射后速度大小不变，方向与原入射方向相反，所以m后来的速度为
在质心参照系中m的入射速度大小
有三个质量相等的质点小球，1与2中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起(可视为一个小物体)，静止地放置在光滑水平面上．另一个小球3沿该光滑水平面射向它们．3和1相碰撞并粘连在一起运动．后轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个质点小球分成两部分：一部分为小球2，另一部分为粘在一起的1、3．已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是Ep.为了使被释放出的小球2的散射角保持在30°之内，求小球3入射时的动能应满足什么条件．
显然，质心系速度v=v0/3.
因弹簧安置的方向不同等原因，小球2将可能以不同的速度向不同方向飞出，设v2与v的夹角为θ．在细线崩断过程中，小球2和1、3合成体由于受到弹力的冲量作用，都将产生相应的动量的增量，从而有相应的速度增量．
设2的速度增量为△v2，则在Ep给定的条件下，Δv2的大小是一定的，v2的大小和方向与Δv2的方向有关，即与弹簧安置的方向有关，如图所示．当v2与Δv2垂直时，θ角最大，这时v2的方向沿圆的切线方向，所以在弹簧各种可能的安置方向中，以图中所示的沿Δv2的方向安置时，粒子2有最大散射角。要求粒子2的散射角保持在30°以内，必须要求
所以要求小球3入射时的动能
话题9 牵连冲量
例题：三个质点A、B和C ，质量分别为m1 、m2和m3 ，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上，如图所示，AB和BC之间的夹角为（π－α）。现对质点C施加以冲量I ，方向沿BC ，试求质点A开始运动的速度。
分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是， B质点受到的两个冲量不在一条直线上， 故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质 点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。
设质点A开始运动时运动速度为v′，AB绳中的冲量为I2, BC绳中的冲量为I1,
对A球，I2＝m1v′
对B球，I1cosα－I2＝m2v′
对B球，I1－I2cosα＝m2v
设质点C开始运动时运动速度为v，
对C球，I－I1＝m3v
另解：
绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I1 ，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I2 ；设A获得速度v1（由于A受合冲量只有I1 ,方向沿AB ，故v1的反向沿AB），设B获得速度v2（由于B受合冲量为I1 + I2，矢量和既不沿AB ，也不沿BC方向，可设v2与AB绳夹角为〈π－β〉，如图所示），设C获得速度v3（合冲量I1 + I2 沿BC方向，故v3沿BC方向）。
对A I1 = m1 v1 ①
对B I2cosα－I1 = m2 v2cosβ ②
I2sinα= m2 v2sinβ ③
对C I － I2 = m3 v3 ④
AB绳不可伸长，必有v1= v2cosβ ⑤
BC绳不可伸长，必有v2cos(β－α) = v3 ⑥
例题：在光滑水平面上有四个等质量小球A、B、C、D，以质量不计、不可伸长的1、2、3三条细线相连。最初，细线刚好张直，如图所示，其中∠ABC＝∠BCD＝120°。今对A球施以一个沿着BA方向的瞬时冲量，使A球获得瞬时速度u后，四球同时开始运动，试求开始运动时球D的速度。
设四球开始运动时球D的速度为v,
则细线3中的冲量为mv,
细线2中的冲量为4mv。
设球C球沿着CB方向运动速度为v′,
则对C球, 4mv-mv/2=m v′, v′=7v/2.
设细线1中的冲量为I,则
对B、C球 I/2-mv/2=2m×7v/2, I=15mv
对B球 I-4mv/2=mu, v=u/13.
如图所示，在每个轻质滑轮的左边都是用轻绳悬挂着质量为m的小球，右边挂着另一个轻质滑轮。现将整个装置由静止释放，求悬挂在最上端滑轮上悬挂小球的运动加速度。假设不计一切摩擦。
话题10 思维方法的类比
解法1：两侧挂有M1、M2的滑轮与悬线上直接悬质量m′的物体等效，
设第n个滑轮右边悬挂的等效质量为x，则该滑轮上悬线上的等效质量
因为有无限多个滑轮，所以第3个滑轮上悬挂等效质量与第2个滑轮上可以视为等值。
设第2个滑轮悬挂物的等效质量为y，则
解法2：第1个滑轮两边的绳子张力为T, 则第2个滑轮两边的绳子张力为T/2。
设第1个滑轮左边悬挂小球向上运动的加速度大小为a，重力加速度为g，则第2个滑轮以a向下运动。对第2个滑轮两边的悬挂物来说，等效重力加速度g’=g-a。
类比即得 T:T/2=g:(g-a)，a=g/2。
一两端无穷的电路如图所示，其中每个电阻的阻值均为R。试求ab两点间的总电阻。
解：因电路为一无穷网络，故整个电路可看作由三个部分组成的，如图所示。设aa′、 bb′之间的电阻为Rx。则
因为是无穷网络，所以左右两部分电路各自去掉一节后等效端电阻仍为Rx。则
换成电容器也是如此。