电 磁 学专 题
讲 授 提 纲
电磁学讲授提纲
一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动
二、电场强度叠加原理　
三、电势叠加原理 电势能
四、静电场中的导体　电容器
五、载流导体受安培运动
六、电荷受电磁场力运动
七、电磁感应
例 半径为R、质量m 分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总电量为Q。(1)知电荷在环直径AOB上作匀速直线运动,求园环上的电荷分布；(2)如图,将Q1=kQ放在距环心r1处,若Q2、Q1、Q三者都静止不动，求Q2的大小和位置;（3）让Q1 、Q2 固定不动并变符号。使环沿x轴移小距离x后静止释放，试讨论环的运动。

环
球面
专题一、带电体（粒子）在库仑力作用下的运动
r1>R ； Q1<0、Q2<0 ；
(2)
(1)

(3)
例　一个质量为 m ，带电荷为 Q 的离子以非相对论初始速率 v0 ，从极远处射向一中性原子附近，该中性原子的质量 M>>m，α为极化率。如图 1 所示，b 为碰撞参数（即瞄准距离）。中性原子被靠近的离子的电场（Eion）极化，从而有电偶极矩 　　　　。 不计辐射损失。

1、对图 2 所示几何关系，计算位于原点的理想电偶极子 p 在其延长线上，距O点 r 处的电场强度 EP；
2、求极化原子作用在离子上的力 f　。证明不论离子所带电荷为何种符号，该力都是吸引力；
3、求离子与原子间有相互作用电势能；
4、求图 1 中最接近距离 rmin；
5、当瞄准距离 b 小于某个临界值 b0 时，离子将会沿一螺线碰到原子。在此情况下，离子被中和，原子将会带电。此过程叫做“电荷交换”相互作用。“电荷交换”碰撞截面的面积 是多少？
解：　1、电偶极子在空间任意一点的电场度为
或
2、离子在电偶极子的延长线上，故离子所受的电场力为
由上式知，无论Q是正是负，作用力总是引力。
3、离子和电偶极子的相互作用电势能为
4、求r 的最小值
设t 时刻，离子的速率为 v ，与原子的距离为 rmin ，则由能量守恒和角动量守恒得
（1）
（2）
由（1）式得
（3）
由（2）式得
5、求碰撞截面积。
　由（3）式知，因b≠0，所以rmin不能为零。若Q＝0，该式不失正确性，这时
（3）
（我们在（3）式根号前取＋号，可使　　　　　）　，对（3）式有
（4）
由（4）式知，为保证 rmin为实数，则要求
即
则
例：如图所示，圆形真空平板电容器极板半径为R，
板间距离为 d (d<半径为r(<板中心。忽略边缘效应、电感效应、相对论效应
和镜像电荷镜像效应等。求：①、未插入小圆片时
电容器两极板间的相互作用力；②、小圆片上的电量q ;③、使小圆片刚好
浮起需加的电源电压值V th；④、当V > V th时小圆片将在电容 器两极板
碰撞，恢复系数为 η ≡vafter/vbefore 。小圆片碰撞后的瞬时速度接近一个
间上下运动(小圆片只做垂直运动，没有 摇摆)，小圆片与极板作非弹性
“稳态速度 v s ” ，求 v s ；⑤、达到稳态后，如果q V>> mgd ，通过
电容器极板间电流的时间平均值；⑥、极板间电压V 慢慢下降时，存在
一个临界电压 VC ，使电荷在板间停止流动。求V C、及对应的电流 IC。
②、求小圆盘上的电量
令
，则
③、求小圆盘浮起的电圧V th
解：①、
④、求小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度”vs
恢复系数η：
小圆盘上下运动一个来回获静电能：
小圆盘每一次非弹性碰撞后的动能损失：
若小圆盘与下板碰撞后的“稳定速度”为vs，则其与下板碰后的动能为：
因此小圆盘向上运动在与上板碰撞前的动能为：
小圆盘一个来回两次碰撞的动能损失为：
小圆盘达稳态的条件是：小圆盘从电源获得的电能刚好补偿动能的损失，即
解得：
因此
⑤、小圆盘每个来回携带的电荷量为2q。电荷上升和下降的时间分别为t+、t-，Δt= t++t-，初速分别为v0+、v0-，加速度分别为a+、a-。则
当达到稳态后，如果qV>>mgd，则圆盘向上、向下运动是对称的，故
这时恢复系数为：
，这时时间间隔为：
忽略重力的功，小圆盘稳态动能为：
将a0和vs 代入Δt 得：
因此
⑥、电压缓降至VC时，回路中电流停止流动，试求临界电压VC和相应的
临界电流IC。小圆盘到达上板速度为零时的电压为临界电压，即
下面求临界电流 IC
Δt=t++t- ,
因
, 故
，
,则
利用
、
，得
专题二、　电场强度叠加原理
例：电偶极子
电偶极子的电偶极矩：
1、以点电荷的场强叠加
2、以典型电荷分布的场强叠加
例
●半径为R的均匀带电球体内外的电场强度
（r>R）
（r≤R）
●半径为R的均匀带电球面的电场强度
（r>R）
(r>0)
●无限大均匀带电平（单位面积带电荷σ）
●由柱外电场强度公式知：线密度为λ的无限长直线电荷的电场强度为
λ
σ
请同学们自己用高斯定理证明上式
例　　如图所示，两个固定的均匀带电球面A和B分别带电4Q和Q（Q＞0）
，两球心之间的距离 d 远大于两球的半径，两球心的连线MN与两球面的
相交处都开有足够小的孔，因小孔而损失的电量可以忽略不计，一带负电
的质点静止放置在A球左侧某点P处，且在MN直线上。设质点从P点释放后
刚好能穿过三个小孔，并通过B球球心。试求质点开始时所在的P点与A球
球心的距离 x 。
专题三、　电势　电势能
r1+r2=d

(3)
(4)
因为RB<，即Ws>WB，所以
正确。
(1)
(5)
解得
(6)
(2)
(7)
(8)
负值
解
由（1）、（2）解得
例(27决)、如图，两块大金属板A和B沿竖直方向平行放置，相距为d，两板间加有恒定电压U，一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m，轻推乒乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反复．假设乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为e，乒乓球与金属板接触的时间极短，并在这段时间内达到静电平衡，达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量q与两极板之间电势差的关系可表示为∣q∣=C0U，其中C0为一常量，同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距d，乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运动：乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气阻力可忽略．试求
1、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。
2、经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。
解： 1、根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
第一次碰撞前
刚碰后
第二次碰撞前
(6)
(7)
第二次碰撞后
(8)
(9)
第三次碰撞前
(10)
(11)
第三次碰撞后
(12)
(13)
第四次碰撞前
(14)
(15)
以此类推，第n次碰撞前、后动能分别为
(17)
(16)
N趋于无穷大，则
(18)
(19)
(20)
2、经过足够长时间时(即n ∞)后 ，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为
(24)
(23)
(22)
(21)
原电
荷在
球売
内
导体球不接地
情况如何处理？
专题四、静电场中的导体　电容器
例:求q受的力和P点的电势.
解:找镜像电荷
q受的力为
球面与平面组合
例 用电像法求解空间各处的度
r
当R趋于无穷时，有
则
令
r
均匀电场用两相距很远的点电荷等效，从而用电像法解
1、求像电荷的电量和离球心的距离b；2、求原电荷q受的力；
3、求A点的电场 强度，当 r >> a 时A 点电场的表达式，a 取
什么极限值时A点的 电场 强度为零(球完全屏蔽q 的电场)。
图a
图b
5、求q与球面上电荷的相互作用静电能；球面上感应电荷间的相互作用
静电能和系统的总相互作用静电能。
悬挂着，悬挂点至球心的距离为 l，不计重力。求电荷q小振动的频率。
例：
4、如图b所示，点电荷电量为q ，质量为m ，用长为L的细线
解：1、B点的电势为
B点为球面上的任意点，即对任何 α 角上式恒等，故必有：
2、感应电荷对 q的作用力为：
3、A点的电场强度为：
当r>>a 时有
当 a 趋于R时，A点的场强为零，金属球屏蔽了A点的电场。
4、A点的电场强度为：
作用在q 上的力为：
由右图知
上式中 β 角可用 α 角表示如下：
单摆的运动方程为：
当α 很小(小振动)时有：
则：
将这些关系式公代入单摆运动方程得：
5、设球面上的感应电荷有j 个，
电量为qj，j = 1、2、3、…。则q
与感应电荷的相互作用静电能为
感应电荷间的相互作用静电能为：
当 r 与某 ri重合时有
系统总的电势能为：
3、电介质镜像法：
例：求q受的力
电介质界面上电场的边界条件：
q受的力为：
例：求q1受的力
例（29F4) 如图所示，虚线小框是由 2n 个电容联成的有限网络；虚线大框是并联的两个相同无限网络。无限网络的结构是：从左边第一个电容开始到电路中间，每个电容的右极板与两个电容的左极板相连，直至无穷；从中间到右边，电路结构与左边电路结
构左右对称。电路中所有电容器都是平行板真空电容器，其极板面积为 S，
板间距离为 d ，（d<<　　）。整个网络与一个内阻可以忽略，电动势为ε
的电池相连接。不计电容器边缘效应，静电力常量 k 已知。
　　1、若将虚线小方框中标有 a 的电容器的右极板缓慢向右拉动，使其板间
　距变为 2d ，求拉动过程中电池所做的功和外力做的功。
　　2、在1 的情况下，将一块与电容器极板形状相同的、带电量为 Q 的金属
　板平行插入 a 中，与a 左极板的间距为 x ，求这时 a 左极板上的电量。
1、虚线小框是由 2n 个电容两两并联后再串联，设等效总电容Cn，则
（1）
虚线大框无限网络等效电容C12为
（2）
（3）
总电容为
（5）
等效电容总电量
（4）
电容器 a 的极板间距为 2d 时，设2 n 个电容器的总电容为 Ct1’，则
（6）
总电容为
（7）
等效电容总电量
（8）
（9）
储能变化为
（10）
电池作功为
外力作功为
2、设 a 的左极板带 电 q’，则金属板左侧带电－ｑ’，右侧带电ｑ＋Ｑ，

a 右极板带电－〔ｑ＋Ｑ〕，与 a 并联的电容器带电为ｑ’’和－ｑ’’。则
（12）
（11）
（13）
求得
（14）
因此有
（15）
将C值及(3)式、(14)式、(15)式代入(16)式得
即极板总电量为
（16）
（17）
例 如图所示电路中，电容器 C1 、C2 、C3 的电容值都是C，电源的电动势为ε ，R1 、R2为电阻，K 为双掷开关。开始时，三个电容器都不带电．先接通oa,再接通ob，再接通oa,再接通ob, 如此反复换向。设每次接通前都已达到静电平衡，试求：
(1) 当 K 第 n 次接通o、b并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少?
(2) 当反复换向的次数 n 为无限多次时，在所有电阻上消耗的总电能是多少?
通a1次
通b1次
通a2次
c1
c2
c3
0
解: 1
通b2次
通a3次
通b3次
……
……
……
2、n→∞
电源做的功，一半变成电容貯能，另一半在电阻上消耗。
例
令