chapter 2
statics
第二章
本章内容
边长为a的均匀立方体，对称地放在一个半径为r 的圆柱面顶部，如图所示，假设静摩擦因数足够大，足以阻止立方体下滑，试证物体稳定平衡条件为
当立方体偏离一个很小的角度θ′，无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点C时，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为O和O′，如图所示，因为
弧
，
而弧
所以
如果
，就有
此时可保证立方体的重心在过C点的铅垂线的左方，也就是说立方体所受重力和支持力的合力矩会使它恢复到原来的位置，即立方体处于稳定平衡．
解法一
如果
，就有
θ′
注意:θ′是正方体转过的微小角度.
θ′
当立方体偏离一个很小的角度θ′，无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点C时，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为O和O′，如图所示.
因为弧
，
满足弧
所以
解得
则可保证立方体有回复力矩, 即立方体处于稳定平衡．
解法二
θ′
C′
因为角度θ′极小,因此可忽略O′相对O的水平移动,仔细计算为角度θ′的平方项,即二阶小量,可以忽略.
当立方体偏离一个很小的角度θ′，无滑动地沿圆柱体“滚动”至触点M时，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为O和O′，如图所示，因为
解得
且
解法三
稳定平衡条件是重心位置C′高于C.
对于很小的角度θ′
即
否则会向下滑动.
设杆的截面积为S，密度为ρ，水的密度为ρ0，杆浸在水中的长度为l′，微扰
使杆偏离重力线一个小角度.
重力的力矩为
浮力的力矩为
临界点为
即
可解得
因为
所以取
当水浸入较少时,木杆稳定平衡;当浸入较多时,木杆不稳定平衡,因此只需求出临界点即随遇平衡时浸入深度即可.
要使根号成立,则水的密度大于木杆的密度.因此
木杆将偏离重力线.否则为稳定平衡.所得结果是杆处于随遇平衡时的值.
说明:
如图所示，将一支正六棱柱形铅笔放在斜面上，斜面倾角α=40o，铅笔与水平方向的成θ角，铅笔静止，试问：
（1）铅笔与斜面之间的静摩擦因数至少为多大？
（2）θ角至少为多大？(竞赛书第31页第14题)
如图所示，所取的截面过这支笔的重心，x轴与铅笔的棱平行，y轴与铅笔的棱垂直，且两者都在斜面上，z轴(图中未画出)为垂直斜面向上．由笔不滑动，
得
由笔不转动，通过O点的棱为轴，摩擦力力矩为0, 则弹力矩及重力矩为：
（等号成立时弹力对轴无力矩）
（表示重力各个方向的分力）得
（46o30′）
或者：设正六面体的截面边长为a，
由力矩平衡条件，有
在竖直墙面上有两根水平木桩A和B，有一细木棒置于A之上、B之下时与竖直方向成θ角静止，棒与A、B的静摩擦因数都为μ0，现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠，如图所示，求此时棒的重心的位置离A桩的距离．已知木桩沿杆方向相距2a.
设想x=0，此时棒与木桩B无作用力．但由于μ0足够大，fA就能维持细棒平衡；当x>0时，细棒与木桩B产生弹力，细棒更不会下滑．
所以要使细棒静止，其重心与木桩A之间的距离应满足的条件是
§2.5
流体静力学
静止流体的压强
静止流体内一点的压强,等于过此点任意一假想面元上正压力大小与面元面积之比,当面元面积趋于零时.在重力的作用下,静止流体内等高的各点的压强相等,在竖直方向上压强随流体深度增加而增加.
P=P0+ρ gh
式中P0为流体上表面的大气压强,ρ为流体密度,h为深度.
◆ 由于液体的可流动性, 在液体中任意取一小面元, 液体分子间的相互作用必定垂直于该面元面无切向力,由于该面元是在液体中某点任取的,可以断定: 压强与方向无关,对液体中任一点来说压强是一确定值.
浮力是浸没在静止流体中的物体受到流体对它的各个方向的总压力的合力. 浮力的方向是竖直向上的, 其大小等于被物体所排开的流体的重力.
F= ρgV
◆ 浮力 的大小与物体的重量无关,与物体在流体中的深度无关.
式中ρ为流体的密度,V为物体浸没在流体中的体积.
一个半径为R的马德堡半球，抽成真空后置于大气压强为p0的空气中，不计球壳重量，则两半球的压力为
A．
B．
C．
D．
E．
E
如图所示，A是一块质量为M的木块，B是质量为m的小铁块，共同浮在水面上，若将小铁块从木块上取下而直接放在水中，那么水的高度将如何变化？
考查所排开的水的体积。
木块和铁块一起时，排开水的重量等于木块与铁块的总重量，排开水体积为
其中ρ0为水的密度。
铁块在水中时，木块排开水的重量等于木块的重量，铁块排开水的体积等于铁块的体积，则排开水的总体积为
因为水的密度小于铁的密度，即ρ0＜ρ铁，所以，可见水面下降。
分析与解答:
一个圆台的体积为V，底面积为S，全部浸没在深为H，密度为ρ的水中，且圆台的底部与容器底面紧密连成一体，如图所示，试分析圆台是否受到浮力。大气压强为p0.
浮力的本质是液体对物体的压力的合力。由于圆台底部与与容器底面连成一体，水对圆台的底部无压力，水对圆台上表面的压力向下，水对圆台侧面的压力为垂直侧面斜向上。将圆台分成两部分，中间部分的高为h，则圆柱体只受到向下的压力
剩余部分受到水对它向上的作用力为
因此，圆台受到合力为
讨论：（1）当
时，合力向上，有浮力。
时，合力向下，无浮力。
时，合力为零，处于临界状态。
（2）当
（3）当
分析与解答:
有一密度为ρ1，半径为r 的半球放在盛有密度为ρ2的液体的容器底部，它与容器底部密切接触（即半球表面与容器底面间无液体），如图所示，若液体深度为H，问半球体对容器底部的压力是多大？大气压强为p0.
设想半球体的下底面有液体，下底面受到的液体压力为
半球体受到的浮力为
因此，半球体上表面受到的液体的压力为
这样，半球体对容器底部的压力，由平衡条件，有
如图所示，半径为r 的球浮于密度为ρ1和ρ2的分层液体的界面处，设分界面正好位于球的直径平面上，问球所受到的浮力有多大？
由上、下半球面的压力差关系，可以证明阿基米德定律仍成立，因此
（可以分两个半球进行讨论，设中央处的压强为p，则分别隔离两个半球，可证明结论成立。
如果是均质球，则两部分的密度相同。）
如图所示，杯中盛有密度为ρ的均匀混合液体，经过一段时间之后，变为两层均匀液体，其密度分别为ρ1和ρ2（ρ2>ρ1），设总体积不变，问杯内底面所受液体压强是否因此而改变？如有改变，是增大还是减小？
因为液体的总质量不变，若杯子是柱形的，显然液体分层后对容器底面的压强相等，但现在倾斜的杯壁也支持了一部分液体的重量，故液体对杯底的压强可能要发生变化。
液体对杯底的压强决定于竖直液柱的重量和杯底的横截面积，而竖直液柱的重量又等于全部液体的重量减去斜柱部分液体的重量，假定密度大的液体在杯底形成的厚度很小，甚至可以忽略不计，则斜柱部分全是密度为ρ1液体，显然斜柱部分的液体重量和原来相比减小，竖直液柱重量增大，杯底受液体压强增大，这是用极端推理方法求得的。以下作一般的证明。
设分层后的液面，如图所示，S为混合液体的平均横截面积，S1，S2分别是密度为ρ1和ρ2液体相应的平均横截面积，h1，h2分别是密度ρ1和ρ2液体相应的高度，由于总体积不变，则
又由于总质量不变，则
液体对杯底的压强在分层前后分别为
解得
因为
整理后得
因此
即
分析与解答:
即
所以