1
笫六章 角动量守恒
（一）角动量和力矩
（二）质点系角动量定理
（三）质心系的角动量定理
（四）对称性与守恒定律
目 录
2
第六章　角动量守恒
（一）角动量与力矩
一、质点的角动量
3
讨论:
⑴ 角动量是相对于给定的参考点定义的，且参考点在所选的参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原点。这样，才有
⑵角动量是矢量，可用分量形式表示。
在直角坐标系中
第六章　角动量守恒
4
二、力矩
作用力F，其作用点的位矢为r，它对O点的力矩被定义为
方向：由右手定则确定
大小:
在直角坐标系中，其分量表示
给定参考点
第六章　角动量守恒
5
二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.
第六章　角动量守恒
6
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点
的力矩---质点的角动量定理
表明角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分
⑶ 质点角动量定理系由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性
系.
第六章　角动量守恒
7
三、质点的角动量守恒定理
当 时,
守恒条件:
⑴ 孤立质点，F =0
⑵ 力F 通过定点O，即有心力.
⑶ 当外力矩对定点的某一分量为零时，则
角动量的该分量守恒：
第六章　角动量守恒
8
例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑.求小球在B点时对环心的角动量和角速度.
B
A
R
t =0
O
第六章　角动量守恒
N
（1）
由（1）和（2）可得
9
例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅
垂线成 角，求摆球速率.
O
z
v
第六章　角动量守恒
（１）
10
另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点O
无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为
而
第六章　角动量守恒
（２）
（３）
（４）
（３）和（４）
11
（二）质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的角动量的矢量和：
内力对体系的总力矩为零，上式变为
体系角动量定理的微分形式
第六章　角动量守恒
12
体系角动量定理的积分形式
体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩
二、质点系角动量守恒
当外力对定点的总外力矩为零时，则
质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化
有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内
的分配是有作用的.
第六章　角动量守恒
13
(3)角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量
守恒定律或能量守恒定律中.
(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以
分别守恒.
（a）若 ，则 .
（b）若 , 则 .
（c）若 ，则 .
⑴关于总外力矩 M=0，有三种不同情况：
（a）对于孤立系统，体系不受外力作用.
（b）所有外力都通过定点.
（c）每个外力的力矩不为零，但总外力矩M=0.
讨论：
第六章　角动量守恒
14
(三）质心系的角动量定理
在处理问题时常采用质心平动系去考察质点系的动力学性
质，那么，如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，质
点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?
一、质心系中的角动量定理
质心系若为非惯性系，则加上惯性力的力矩，角动量定理
仍适用.设 为质心系中体系对质心的总角动量， 为外力对
质心力矩之和， 为惯性力对质心的力矩之和，则
由于质心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为
第六章　角动量守恒
15
即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质
心的外力矩总和.
注意：质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具
有完全相同的形式，但后者总被强调在惯性系中成立，
而质心即使有加速度，质心系为非惯性系，质心角动
量定理仍成立.
其中 为质心系中质心位矢，它必为零，故
质心系角动量微分形式
质心系角动量积分形式
第六章　角动量守恒
16
二、质心系的角动量守恒
当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量为恒量
利用质心系的角动量守恒定理，可以清楚地解释运动员
的跳水过程.
三、体系角动量与质心角动量
在惯性系中，质点系相对于定点的角动量为
而 ，代入上式得
第六章　角动量守恒
17
根据质心的定义，上面后两项为零.于是
上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系
相对于质心角动量之和.
质心角动量
体系相对
质心角动量
第六章　角动量守恒
18
例题6.3 质量为 的两个质点的位矢和速度分
别为 和 ，试求⑴每个质点相对于两
质点质心的动量.⑵两质点相对于它们的质心的角动
量.
解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u
考虑到质心系是零动量参考系，即
可得
第六章　角动量守恒
19
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
故两个质点相对于它们的质心的角动量为
两质点的
约化质量
第六章　角动量守恒
由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为
20
（四） 对称性与守恒定律
一、自然界中的对称性：对称是自然界固有的一种属性。 :
物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越
简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。
第六章　角动量守恒
二、对称性的有关概念
1.系统：研究物体或对象
2.状态：系统的性质稳定不变时，称系统处于某种状态；不同的状态可以是“等价的”，也可以是“不等价的”；
3.变换：使系统从一个状态变到另一个状态的过程，
或称为给了系统一个操作；
4.对称性：在一个操作下，系统从一个状态变化到另一个
与之等价的状态，称系统在这个操作下是对称的；
这个操作叫做该系统的一个对称操作。
/2
或
21
三、对称性的种类
镜象对称:如果将中心线设想为一个垂直于图面的平
面镜与图面的交线，则中心线两边的每一
半都分别是另一半在平面镜内的像。
镜象对称又称为左右对称，镜象对称操作
称为空间反演操作。
平移对称:如果一个系统发生一平移后，它也和
原来一模一样，那么该系统具有空间
平移对称性。
转动对称:如果使一个系统绕某一固定轴转动一个角
度，它又和原来一模一样。
   如果一个形体对通过某一定点的任意轴都
具有转动对称性，此系统就具有球对称性
，这个定点是对称中心。具有球对称的系
统，从对称中心出发，具有各向同性。
第六章　角动量守恒
22
四、物理定律的对称性
时空操作：
空间操作：平移、转动、镜象反射、空间反演等；
时间操作：时间平移、时间反演等。
相应的对称性称为时空对称性。
物理定律的对称性与空间平移对称性、时间平移对称性、空间转动对称性、镜象对称性等密切相关。
第六章　角动量守恒
物理定律的空间平移不变性
     在空间某处做一个物理实验，然后将该套实验仪器（连同影响实险的一切外部因素）平移到另一处，给予同样的起始条件，实验将会以完全相同的形式进行，这就是物理定律的空间平移不变性，又叫空间的均匀性。
23
物理定律时间平移不变性
    一个实验只要不改变原始的条件和所使用的仪器，不管是今天去做还是明天去做。都会得到相同的结果。这事实称为物理定律的时间平移不变性，又称为时间的均匀性。
物理定律的空间转动不变性
     物理实验仪器不管在空间如何转向，只要实验条件相同，那未物理实验会以完全相同的方式进行，其物理实体在空间所有方向上都是相同的，这称为物理定律的空间转动不变性，又叫空间的各向同性。
第六章　角动量守恒
24
物理定律的镜像不变性
    假定一只钟在滴答滴答的走着。现在从一面镜子中来看这只钟，镜子中出现一只与原来钟左右对调过来的钟。若能实际制造出同镜子中钟的像完全相同的钟，这样就制成了两只实际存在的钟，而且一只钟是另一只钟的“像”。如果两只钟发条上得一样紧，并在相同的条件下开始走动。那么事实会证明这两只钟将永远以相同的速率走动，亦即它们遵从相同的力学定律.
物理定律的对称性有着深刻的含义。通常我们从运动方程出发讨论守恒律，然后说明对称性。而在理论物理中，往往以对称性为出发点。1905年人们理解了麦克斯韦方程中的对称性，1909年爱因斯坦就设想：“为什么我们不能将这样的过程倒过来，为什么我们不能从对称性出发建立符合对称性原则的基本方程，并由此得到和方程符合的实验结果？”1954年杨—米尔斯(Yang—Mills)提出的非阿贝耳规范对称理论是这方面的典范。
第六章　角动量守恒
25
五、对称性与守恒定律
对应于每一种对称性，都存在一个守恒定律。下表列出了物理学中常见的对称性和相应的守恒定律:

第六章　角动量守恒
26
下面讨论时空对称性与动量守恒定律：
为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组
成，它们只限于在具有平移对称性的x轴上运动，如图所示。
设两粒子的坐标分别为 ，体系的势能为
第六章　角动量守恒
27
空间的平移对称性意味着势能与之无关，即空间平移操作下
势能保持不变，即
第六章　角动量守恒
28
本章基本要求
1.理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系.
2.掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一些
实际问题.
3.掌握质心系的角动量定理，理解质心系中处理问题的特点
及与实验室坐标系的互换关系.
4.了解对称性的意义，及与守恒定律的关系。
第六章　角动量守恒