4.5相似三角形判定定理的证明
 两角对应相等，两三角形相似.
 三边对应成比例,两三角形相似.
相似三角形的判定方法:
 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
回顾与复习
两角对应相等，两三角形相似.
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
√
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
你能证明吗？可要仔细哟！
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似.
√
那么，△ABC∽△A1B1C1.
如果∠B =∠B1 ，
你能证明吗？可要仔细哟！
不会
如果
这两个三角形一定会相似吗？
解：（1）
∽
两个三角形的相似比是多少？
已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长.
解: AB=6，BC=4，AC=5，CD=
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
AD=
若: 试说明 :
（1）∠ABC＝∠CDB
（2）CA·BD＝CB·AB
例2:
那么，△ABC∽△A′B′C′.
三边对应成比例，两三角形相似.
√
如果
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.
求证: △ .
∽△
D
E
∴
又
∴
同理
∴
∴
∥
∽
∽
∴
∽
∽

例1.下面两个三角形是否相似?为什么?
解:在△ABC和△DEF中.
∴△ ABC ∽ △ ADE.
(三条对应边成比例的两个
三角形相似.)
四.应用结论,解决问题

如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗?
你用什么方法来支持你的判断?
∴△ ABC∽△ A′B′C′
(三边对应成比例的两个三角形相似.)
解:如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:
有一池塘, 周围都是空地. 如果要测量池塘两端A、B间的距离, 你能利用本节所学的知识解决这个问题吗?
•
•
A
B
2.(选做题)
3.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°
得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，
∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴
，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴
，
∴
，
∴BM=MC．
Q
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
．

解（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵
，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，
∴
，
∴t=1；
②当△BPQ∽△BCA时，
∵
，
∴
，
，
时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，
∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM且
∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴
，
∴
，
；
一、相似三角形判定定理的证明
1.两角对应相等，两三角形相似.
3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
二、相似三角形判定定理的应用
2.三边对应成比例,两三角形相似.
习题 知识技能
作业布置