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北师版九年级上册

第四章
4.3相似多边形
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两个图形的形状 ________，但图形的大小位置 __________，这样的图形叫做相似图形。
完全相同
不一定相同
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图形的放大
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图形的放大
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图形的缩小
两个图形相似
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两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。
相似图形的关系
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在下列图形中，找出相似图形。
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多边形
由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结且不相交所组成的图形叫做多边形。
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相似多边形
这两个图案中，有没有相似的图形？
这个零件中，有没有相似的图形？
根据相似多边形的特征，给相似多边形下定义。
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A
B
C
A1
B1
C1
正三角形
缩小
对应角有什么关系？对应边有什么关系？
∠A =∠A1，
∠B =∠B1，
∠C =∠C1
AB : A1B1 =
BC : B1C1 =
CD : C1D1
AB = BC = AC ，
A1B1 = B1C1 = A1C1
60°
60°
对应角相等
对应边成比例
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正八边形
放大
对应角有什么关系？
150°
150°
∠A =∠A1，
∠B =∠B1，
∠C =∠C1
对应角相等
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
D
F1
E1
D1
∠D =∠D1，
∠E =∠E1，
∠F =∠F1
正八边形
放大
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正八边形
放大
对应边有什么关系？
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
D
F1
E1
D1
AB = BC = CD = DE = EF = FA ，
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1
对应边成比例
=
=
=
=
=
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A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
请分别量出这两个不规则四边形各内角的度数，求出对应边的长度。
对应角有什么关系？
对应边有什么关系？
不规则四边形
缩小
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相似多边形
（对应边的比相等）
相似比
相似多边形对应边的比。
（k > 0）
若相似比k =1 ，相似图形有什么关系？
对应角相等，对应边成比例。
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全等是一种特殊的相似。
当相似比k =1时，
相似图形即是全等图形。
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六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为 k1= 2 : 1，
对应边 AB：A1B1= 2 : 1 。
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六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的相似比为 k2= 1 : 2，
对应边 AB：A1B1= 1 : 2 。
相似比与叙述的顺序有关。
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相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的多边形叫做相似多边形.
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对应角相等。
对应边成比例。
两个多边形相似的条件
相似六边形
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相似多边形的对应高
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相似多边形的对应角平分线
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相似多边形的对应中线
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相似多边形的对应对角线
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A
B
C
A1
B1
C1
相似多边形的对应三角形
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相似多边形的性质
相似多边形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比。
相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形对应三角形相似，且相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方。
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题型1 判断两个多边形是否相似
3
正方形
3
4
4
菱形
解: ∵ 正方形，菱形的四条边都相等.
∴ 它们的对应边成比例，k = 3 : 4.
∵ 正方形的四个内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角.
∴ 它们的对应角不相等.
∴ 这一组图形不相似.
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3
正方形
3
6
8
长方形
解：∵ 正方形和矩形的四个内角都是直角.
∴ 它们的对应角相等.
∵ 对应边 3 : 6 ≠ 3 : 8.
∴ 它们的对应边不成比例.
∴ 这一组图形不相似.
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解: ∵ 矩形的每个内角都等于90o.
∴ ∠A =∠E = 90°，∠B =∠F = 90°
∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90°
∴ 它们的对应角相等.
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
∴ EH:AD≠EF:AB.
∴ 它们的对应边不成比例.
∴ 矩形ABCD和矩形EFGH不相似.
一块长 3m，宽1.5m的矩形黑板，镶其外围的木质边宽7.5cm。边框内外边缘所组成的矩形相似吗?为什么?
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题型2 求相似多边形的对应角或对应边
五边形ABCDE相似于五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=2.2cm，GH=6cm，HI =5cm，FJ=4cm， ∠A=120°，∠H=90°
求：（1）相似比等于多少?
（2）FG，IJ，BC，AE， ∠F， ∠C
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
5
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解:（1）相似比=CD : HI=3 : 5
（2）∵五边形ABCDE相似于五边形FGHIJ
∴ ∠F =∠A=120o, ∠C= ∠H=90o,
∴AB : FG = BC : GH = CD : HI = DE : IJ = EA : JF
即2 : FG = BC : 6 = 3/5 = 2.2 : IJ = AE :4
解得FG =10/3 cm, BC =18/5cm,
IJ=11/3cm,AE=12/5cm
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
2
3
2.2
6
5
4
120°
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你能找出其中的相似多边形吗？
相似正五边形
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相似正八边形
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相似正六边形
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相似正十二边形
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课堂小结
1. 相似图形：
形状相同的图形。
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2. 相似多边形：
对应角相等，对应边成比例。
相似多边形对应边的比。
3. 相似比：
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随堂练习
1. 判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ）
（2）任意两个圆形是相似图形（ ）
（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（ ）
（4）两个正五边形是相似多边形（ ）
（5）两个全等三角形是相似多边形（ ）
（6）两菱形是相似多边形（ ）
（7）两个相似多边形，对应边成比例（ ）
√
√
√
×
√
×
×
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2. 五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3，（1）若∠D＝135°，则∠D′= ______。
（2）若A′B′=15cm，则AB= ______。
135°
5
3. 一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边为______ 。
18
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4. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？
如果相似，相似比是多少？
解；矩形ABCD相似于矩形EFGH
因为它们的对应角相等，对应边成比例。
相似比为:
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