1.3.2 正方形的判定
学习目标：
知识与技能：知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、 矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

过程与方法：经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，
逐步掌握说理的基本方法。
情感态度与价值观：理解特殊的平行四边形之间的 联系，培养学生辩证看问题的观点。

学习重点：掌握正方形的判定条件

学习难点：合理恰当地利用特殊平行四边形之间的判定进行 有关的论证和计算，进一步提高观察、分析、
解决问题的能力，享受合作学习的快乐。
菱形
矩形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
复习回顾
角 ：四个角都是直角
图形的对称性：既是轴对称图形,
又是中心对称图形.
正方形的性质
想一想
如果将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）
思考
有一组邻边相等
且有一个角是直角
的平行四边形
叫做正方形。
有一个直角
矩形
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
正方形
有一个直角
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角为直角的菱形是正方形
特殊的矩形
特殊的菱形
特殊的
平行四边形
一组邻边相等
有一个直角
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
定义法
2、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等。（矩形法）
3、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角。（菱形法）
1、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。(定义法）
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对角线相等
对角线垂直
对角线相等
对角线垂直
对角线垂直且相等
第十九章 四边形
正方形的判定方法还有哪些？
4.对角线相等的菱形是正方形。
正方形的判定方法：
5.对角线垂直的矩形是正方形。
已知：在菱形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形。
正方形的判定方法：
5.对角线垂直的矩形是正方形。
已知：在矩形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O，且AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形。
1、 叫正方形。
2、有 的矩形是正方形。
3、对角线 的矩形叫正方形。
4、有 的菱形是正方形。
5、对角线 的菱形叫正方形。
正方形的判定
①、对角线相等的菱形是正方形。
②、对角线互相垂直的矩形是正方形。
③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。
④ 四条边都相等的四边形是正方形。
⑤、四个角都相等的四边形是正方形。
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形。
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
真
真
假
假
假
真
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ ABC，CE平分∠ DCB，BF∥CE，CF ∥ BE.
求证:四边形BECF是正方形.
例题
猜想结论，分组验证
1.如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=30°，
则∠A= .
②若EF=8cm,
则AC= .
30°
16cm
猜想结论，分组验证
2.在AC的下方找一点D, 做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？
3.四边形EFGH的形状有什么特征？
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是
猜想结论，分组验证
正方形
?P23
P23做一做
已知：如图，点A1、B1、C1、D1分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形A1B1C1D1是正方形。
A B

D C
A1





D C
B1
C1
D1
E
F
O
1
2
特殊四边形的中点四边形：
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
归纳：
特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
归纳：
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
猜想结论，分组验证
P23议一议
课堂小结
1.本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？
2.通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？
作业
P25习题1.8
第2,3题
学以致用
ABCD是
凸四边形
AB、AD在同一线段上
ABCD是
凹四边形
ABCD是
扭曲四边形
拖动A点使四边形ABCD的图形如上图变化，那么中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
结论：当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形
图形发散练习
第二环节 运用巩固
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
√
√
√
×
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ ）
√
快速反应
判断题:
（6）正方形一定是矩形．（ ）
（7）正方形一定是菱形．（ ）
（8）菱形一定是正方形．（ ）
（9）矩形一定是正方形．（ ）
(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形． （ ）
√
√
√
×
×
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( )
(14)四条边都相等的四边形是正方形 ( )
×
×
×
1、下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
选择题:
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　 C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD

C
A
5 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ）
A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形
A
4. 已知在□ABCD中，
∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
D
6、顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
顺次连结菱形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）

Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四国边形
顺次连结正方形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）

Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四国边形
B
C
A
以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线
段有关系？有怎样的关系？
应用举例：
1 已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分别是正方形ABCD
四条边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
①、由已知正方形证三角形全等；
②、证得菱形；
③、再证直角；
④、是正方形
证题思路分析
上一页
例1 已知：如图，在正方形ABCD中，A`A=B`B=C`C=D`D 。
求证：四边形A`B`C`D`是正方形。
证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA
又∵A`A=B`B=C`C=D`D ∴D`A=A`B=B`C=C`D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`
∴四边形A`B`C`D`是菱形

又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90°
∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 °
∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°
∴四边形A`B`C`D`是正方形。
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。
探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？
探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM 与
BN之间的关系是否还成立？
3、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
∴四边形ABCD是正方形（ )
∴ DE=DF( )
DE⊥AC， DF⊥BC
∵ CD平分∠ACB
∴ 四边形ABCD为矩形( )
而∠ACB=90°
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
有三个角是直角的四边形是矩形
角平分线的定理
有一组邻边相等的矩形是正方形
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
练一练
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。　　　∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90°　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　　　∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　 ∴∠EAC＝∠BAG　　 ∴△AEC≌△ABG　(SAS)
　　∴∠CEA＝∠ABG
3、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。