第一章 特殊平行四边形
1.3.1正方形的性质
北师版九年级数学上册
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平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等。
对角相等,邻角互补。
对角线互相平分。
菱形的性质
菱形的性质
菱形的四条边相等。
特殊
菱形的对角线互相垂直，
且分别平分两组对角。
具有平行四边形一切性质
矩形的性质
矩形的性质
矩形的四个角都是直角。
具有平行四边形一切性质
矩形的对角线相等。
特殊
有一个直角
有一个直角
矩形
有一个直角
矩形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
你能给正方形下一个定义吗？
给正方形下个定义
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
定义法
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系!
大家谈
菱形
矩形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
P21议一议
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

正方形性质:
边: 对边平行；
四边相等；
角 ：四个角都是直角；

对角线：
对称性：
对角线相等；
对角线互相垂直；
每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；
对角线互相平分；
正方形是中心对称图形。
也是轴对称图形,有4条对称轴。
具有平行四边形的一切性质
(1)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等。
(2)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，且平分每一组对角。
(A)
(B)
(C)
(D)
正方形的性质：
对称性
一般性质
特殊性质
1.正方形的四个角都是直角，四条边相等,对边平行。
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
P20想一想
P20请你完成这两个定理的证明。
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.
选一选
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。
例题
P21随堂练习
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
P21随堂练习
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
小结1：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
定义法
有一个角是直角的菱形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一组邻边相等的一个角是直角平行四边形叫做正方形。
小结2
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
作业布置:
P22习题1.7
第1,2题
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）.
∵△BCE≌△DCF.
∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠F=90°.
∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
对边平行且相等
四条边相等
对边平行且四条边相等
对角相等
四个角都是直角
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
图形
性质
分类
正方形
类
比
归
纳
P20
情景一
新知探究
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
情景一
新知探究
☞
从这个图形中你能得到什么？

┓
90°
有一个角是直角的菱形是正方形。
A
B
C
D
情景二
新知探究
A
B
C
D
新知探究
情景二
A
B
C
D
新知探究
情景二
A
B
新知探究
情景二
A
B
新知探究
情景二
A
B
新知探究
情景二
A
B
新知探究
情景二
A
B
C
D
新知探究
情景二
A
B
从这个变化中你能得到什么？
有一组邻边相等的矩形是正方形。
你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）
①四条边相等，四个角都是直角
②对角线互相垂直、平分且相等
以四边形为基础：
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
√
√
√
×
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（ ）
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ ）
√
快速反应
判断题:
（6）正方形一定是矩形．（ ）
（7）正方形一定是菱形．（ ）
（8）菱形一定是正方形．（ ）
（9）矩形一定是正方形．（ ）
(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形． （ ）
√
√
√
×
×
（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴( )
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( )
(14)四条边都相等的四边形是正方形 ( )
×
×
×
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补.
D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
选择题:
3、下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
4．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　 C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD

C
A
6 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（ ）
A．正方形　 B．菱形　 C．矩形　 D．平行四边形
A
1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。
7.5

2.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相　　　　　交于点O，且AB＝2cm，则AC= ,
正方形的面积S=______.
2
2
4
6
36
4、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ ）
菱形
矩形
矩形
矩形
正方形
1.一个菱形的两条对角线的长分别为4cm和8cm，求它的边长。
2.如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？
3.一个菱形的周长是200cm，一条对角线长60cm,求：1）另一条对角线的长度；2）菱形的面积.
4、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。
证明：
∴OA－OM＝OB－ON
∴OM＝ON
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
又∵MN∥AB
∠1＝∠2＝∠3＝45°
∴OA＝OB AB=BC
∵四边形ABCD是正方形
即：AM=BN
∴△ABM≌△BCN
∴BM=CN
5、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
∴四边形ABCD是正方形（ )
∴ DE=DF( )
DE⊥AC， DF⊥BC
∵ CD平分∠ACB
∴ 四边形ABCD为矩形( )
而∠ACB=90°
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
有三个角是直角的四边形是矩形
角平分线的定理
有一组邻边相等的矩形是正方形
6、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°
证明：
∴DM=DF
∴Rt△CDM≌Rt△ADF　(AAS)
又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠
∴∠1＝∠2
∵∠CMD＝∠AME
∴∠ADC＝∠AEM＝90°
∵CE⊥AF 四边形ABCD是正方形
∴∠MFD＝45°
1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
练一练
3、下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
4．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形
C、矩形 D平行四边形

C
5 ．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是（ ）
A．正方形　 B．菱形　
C．矩形　 D．平行四边形
A
7、边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm
8、正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中有____个等腰直角三角形
8
例2、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E， ∠AFC的度数.
F
练习：1、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠E
回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列
对边平行且相等
四条边相等
对边平行且四条边相等
对角相等
四个角都是直角
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线相等
对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
图形
性质
分类
正方形
类
比
归
纳
根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
√ √ √ √
√ √
√ √
√ √ √ √
√ √
√ √
√ √
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。　　　∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90°　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　　　∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC　　 ∴∠EAC＝∠BAG　　 ∴△AEC≌△ABG　(SAS)
　　∴∠CEA＝∠ABG
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。
4、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度数。
7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。
8、如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。
A
B
C
D
M
N