有理数及其运算
负数
像10、1.2、17…这样的数叫做正数，它们都比0大。
在正数前面加上“－”号的数叫做负数，例如－10，－3 …
我们常用正数和负数表示一些相反意义的量。
0既不是正数，也不是负数
如：向东走10米记为+10米，向西走15米记为-15米。
有理数
整数与分数统称为有理数。
正整数：如 1、2、3……
零： 0
负整数：如－1、－2、－3…
有理数
正分数: 如 1/2 、1/3、5.2、3.5
负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6、-2.8
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
1、数轴的特点
（1）数轴是一条直线
（2）数轴有原点（０点）
（３）数轴有正方向（通常取向右为正方向）
（４）数轴有单位长度
２、数形结合
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
３、数轴的画法
0
1
2
3
-1
-2
-3
(1)取原点
(2)规定正方向,通常取向右为正方向
(3)选取适当的长度为单位长度
相反数
定义一：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。
定义二：和为０的两个数互为相反数。
２、数轴上两个点所表示的数，右边的总比左边大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
越 来 越 大
１、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点
的两侧，并且与原点的距离相等。
３、利用数轴比较两个数的大小。
在数轴上用两个相应的点表示两个数，通过比较这两个点在
数轴上的位置关系来比较两个数的大小。
绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。例如：＋２的绝对值等于２，记作｜＋２｜＝２，－３的绝对值等于３，记作｜－３｜＝３
１、一个数本身与它的绝对值的关系
正数的绝对值是它本身，｜＋３｜＝３
负数的绝对值是它的相反数，｜－３｜＝３

0的绝对值是0，｜０｜＝０
任何数的绝对值都是非负数。
２、利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例、比较－５和－８的大小
解：　因为｜-5｜= 5， | -8 | = 8

5 < 8

所以 -5 > -8
3、绝对值的特性
| a – 2 | + | b – 3 | = 0 , 求2 a + 3 b的值。
解：依题意有
| a – 2 | = 0 | b – 3 | = 0 , 则
a = 2 b = 3
2 a + 3 b = 13
有理数的加法
有理数加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不相等时，取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、一个数同零相加，仍得这个数。
进行有理数加法运算的步骤：
1、判断加法类型（同号相加？异号相加？和零相加？）
2、确定和的符号
3、确定和的绝对值
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（+5）+（+3）
（－5）+（ －3）
= +
（ | 5 | +| 3 | ）
= +8
1、判断加法类型—同号相加
2、确定和的符号—取相同的符号“+”
3、确定和的绝对值—绝对值相加
= －
（ | 5 | + | 3 | ）
= －8
1、判断加法类型—同号相加
2、确定和的符号—取相同的符号“+”
3、确定和的绝对值—绝对值相加
2、异号两数相加，绝对值相等时和为0； 绝对值不相等时，
取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（－5）+（+3）
（＋5）+（ －3）
= －
（ | 5 | －| 3 | ）
= －２
1、判断加法类型—异号相加
2、确定和的符号—取绝对值较大的
符号“+”
3、确定和的绝对值—较大的绝对值
减去较小的绝对值
= ＋
（ | 5 | － | 3 | ）
= ＋２
1、判断加法类型—异号相加
2、确定和的符号—取绝对值较大的
符号“+”
3、确定和的绝对值—较大的绝对值
减去较小的绝对值
（＋5）+（ －5）= 0
异号相加，绝对值相等，和为0
3、一个数同零相加，仍得这个数。
（ -5）+ 0 = -5
做一做
有理数的减法
减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
a – b = a + ( - b )
有理数减法运算步骤：
1、被减数不变
2、减法变加法
3、确定减数并把减数变成其相反数
4、根据加法法则进行运算
计算、 （ - 5 ）- 6
（ - 5 ）- 6
=（ - 5 ）
+
（- 6）
1、被减数不变
2、减法变加法
3、确定减数并把减数变成其相反数
= - 11
= - ( 5 + 6 )
4、根据加法法则进行运算
做一做
有理数的乘法
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
任何数与0相乘，积仍未0。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；有因数为零时，积就为零。
乘积为1的两个有理数互为倒数。
倒数的概念
乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；
乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；
乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
乘法运算的步骤：
1、判断乘法类型（同号相乘？异号相乘？和零相乘？）
2、确定积的符号
3、确定积的绝对值
1、两数相乘，同号得正，绝对值相乘
（－5）x（－3）
（＋5）x（ +3）
= +
（ | 5 | x | 3 | ）
= +15
1、判断乘法类型—同号相乘
2、确定积的符号—同号得正“ + ”
3、确定积的绝对值—绝对值相乘
= ＋
（ | 5 | x | 3 | ）
= ＋15
1、判断乘法类型—同号相乘
2、确定积的符号—同号得正“+”
3、确定积的绝对值—绝对值相乘
2、两数相乘，异号得负，绝对值相乘
（－5）x（+ 3）
（＋5） x 0
= －
（ | 5 | x | 3 | ）
= －15
1、判断乘法类型—异号相乘
2、确定积的符号—异号得负“－ ”
3、确定积的绝对值—绝对值相乘
= 0
（与0相乘）
3、任何数与0相乘，积仍未0。
做一做
有理数的除法
有理数除法法则一
两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。0除以任何数等于0。0不能做除数。
有理数除法法则二
除以一个数等于乘以这个数的倒数。
除法运算的步骤：
1、判断除法类型（同号相除？异号相除？被零除？）
2、确定商的符号
3、确定商的绝对值
1、两数相除，同号得正，绝对值相除
（－6） ÷ （－3）
（＋6） ÷ （ +3）
= +
（ | 6 | ÷ | 3 | ）
= +2
1、判断除法类型—同号相除
2、确定商的符号—同号得正“ + ”
3、确定商的绝对值—绝对值相除
= ＋
（ | 6 | ÷ | 3 | ）
= ＋2
1、判断除法类型—同号相除
2、确定商的符号—同号得正“+”
3、确定商的绝对值—绝对值相除
2、两数相除，异号得负，绝对值相除
（－6） ÷ （+ 3）
（＋6） ÷ （ －3）
= －
（ | 6 | ÷ | 3 | ）
= －2
1、判断除法类型—异号相除
2、确定商的符号—异号得正“－ ”
3、确定商的绝对值—绝对值相除
= －
（ | 6 | ÷ | 3 | ）
= －2
1、判断除法类型—异号相除
2、确定商的符号—异号得正“+”
3、确定商的绝对值—绝对值相除
3、0除以任何数等于0。
0 ÷5 = 0
0 ÷（-5）= 0
4、除以一个数等于乘以这个数的倒数。
除法化成乘法
换成倒数
做一做
有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方
一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作:
＝
幂
指数
底数
a n读作a的n次方，也可读作a的n次幂
a n表示n个a相乘
做一做
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
乘方运算的法则：
1、(-2)4 与 -24 相同吗？
它们的意义不相同
有理数的混合运算
有理数的运算律
加法运算律：
　 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
乘法运算律：
　 乘法交换律:a×b=b×ａ
　 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac
有理数混合运算的运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，
先算括号里面的。
做一做