第四单元  比例比例的意义和基本性质教学目标：1．理解和掌握比例的意义和基本性质，认识比例各部分名称，知道比与比例的关系。2．在举例、分类、观察、比较、抽象与概括等活动中发展学生的思维。3．在具体的实践活动中激发学生自主参与的意识和主动探究的精神，感受数学与生活的联系。教学重点：理解比例的意义和基本性质。教学难点：判断两个比能否组成比例。教学过程：一、导入1．课件出示国旗画面，三幅不同的场景都有共同的标志：五星红旗。五星红旗是中华人民共和国的象征；这些国旗有大有小，你知道这些国旗的长和宽分别是多少吗？2．课件出示国旗的长和宽，并提出问题。天安门升旗仪式上的国旗：长5m，宽10/3m 操场升旗仪式上的国旗：长2.4m，宽1.6m教室里的国旗：长60cm，宽40cm.这些国旗的大小不一，是不是国旗想做多大就做多大呢？是不是这中间隐含着什么共同的特点呢？每面国旗的大小不一样，但是它们的长和宽中却隐含着共同的特点，是什么呢？这节课我们就结合国旗的知识来学习比例的意义和基本性质。老师板书课题。二、新授1．教学比例的意义。出示P40主题图，根据图中给出的数据分别写出不同场地的国旗的长和宽的比，并求出比值。之后学生汇报、交流。观察写出的比，想一想，这些比能用等号连接吗？为什么？用等号连接的两个比的式子可以怎样写？（可以用等号连接，两个比的比值相等，因为它们的比值相等，说明这两个比也是相等的。之后，老师概括比例的意义0:40，像这样的一些式子叫做比例。让学生按照自己的理解来概括一下比例的意义。交流后让学生勾画P40概念，全班齐读。那么，怎么判断两个比能否组成比例？学生独立完成P40做一做。刚才我们先写了比，然后又写出了比例，你觉得比和比例一样吗？有什么区别？（比例由两个比组成，有四个数；比是表示两个数相除，有两个数）2．教学比例的基本性质。⑴认识比例的各部分名称。课件出示：  2.4 : 1.6  =  60 : 40             ↑    ↑-内项-↑   ↑             ∣＿＿＿外项 ＿＿＿∣说明：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。如果把比例写成分数的形式，你能指出它的内、外项吗？结合学生回答，课件出示2.4/1.6=60/40。⑵发现比例的基本性质。让学生先观察比例的两个内项与两个外项，再算一算两个内项的积与两个外项的积，说一说你发现了什么。（2.4×40=96   1.6×60=96    2.4×40=1.6×60）如果把比例写成分数形式，是否也存在上面发现的规律？（存在）是不是每一个比例的两个外项与两个内项都有这种规律？小组合作，举出这样的例子。（学生自由列举）通过探究，你发现了什么？学生交流后，小结：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。强调：如果把比例写成分数形式，比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘，积相等。⑶应用比例的基本性质。让学生完成P41做一做，反馈后引导学生小结：判断两个比能否组成比例，不仅可以应用比例的意义，还可以应用比例的基本性质。三、巩固应用：P43 2.3.四、小结：比例的意义是什么？比例的基本性质是什么？判断两个比能否组成比例有几种方法？
解比例教学目标：1．理解解比例的意义，会根据比例的意义或比例的基本性质正确解比例。2．通过合作交流、尝试练习，提高学习运用比例的基本性质解比例的能力。3．让学生在解比例的过程中，感受到学习数学的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心。教学重点：解比例的意义和方法。教学难点：明确解比例的依据，能正确地解比例。教学过程：一、复习铺垫1．上节课，我们学习了比例的有关知识，请你判断一下，下面哪两个比能组成比例？（课件出示）2:3    0.5:0.2    0.6:0.8    1/3:1/10     3:1.2      4:6      2/3:1/5      3/5:4/5讨论交流：什么叫做比例？刚才那些同学的判断对吗？你是怎样知道的？2．填空并说明理由。1:3=（   ）：（   ）      3:8=9：（   ）因为与1:3比值相等的比有很多，所以这道题的答案不唯一，只要比值是1/3就可以了。5:3=9：（24），根据比例的基本性质，内项之积是8×9=72，外项积也应该是72,72÷3=24，所以括号里填24。3．借题导入：3:8=9：（  ）中的未知项也可以用x表示，写作3:8=9：x，像这样求比例中的未知项，叫做解比例。老师板书课题。二、新授1.教学例2，探究解比例的方法。出示例2，读题，学生弄清列式及解题根据，自主尝试解答，之后汇报交流，老师指名学生板演并交流列式及解答根据。（先列出比例，根据比例的基本性质“外项积=内项积”把比例改写成方程，然后解方程。）解：设这座模型的高度是Xm。X:320=1:1010X=320×1    X=（320×1）/10    X=32答：这座模型高32m。2.教学例3，探究分数形式的比例的解法。出示例3，让学生独立思考后，汇报解题思路和方法，老师结合学生汇报进行板书。3.总结解比例的过程：解比例首先要根据比例的基本性质把比例转化成方程，然后根据学过的解方程的方法求解。三、巩固应用：1.P44 8.（学生独立计算，老师巡视个别指导，发现问题及时纠正）2.P44 9.10.11.（指导学生先列比例，再解比例）四、小结：这节课我们学习了“解比例”，谁能说说在解比例的过程中，应该注意些什么？（设未知数为X，再列比例，最后根据比例的基本性质求未知项）
正比例教学目标：1．理解正比例的意义，能够根据正比例的意义判断两个量是否成正比例。2．了解表示成正比例的量的图像特征，能根据图像解决有关正比例的简单问题。3．通过观察、实验、计算等方法，逐步理解正比例的意义。4．在小组合作学习中，发展学生的观察分析、判断推理和抽象概括的能力，初步渗透函数思想。5．培养学生动手操作、实验、观察等良好的学习态度和习惯。6．感受数学的魅力，体会数学知识间的联系，感受数学知识在生活中的广泛应用。教学重点：理解正比例的意义。教学难点：掌握正比例的量的变化规律及其特征。教学过程：一、复习导入商店里有两种包装的袜子，一种是5双一包的，售价为25元，一种是8双一包的，售价为32元，哪种袜子更便宜？学生独立完成后，老师提问：你们是怎么比较的？（求出袜子的单价再进行比较）根据哪个数量关系式进行计算的？（单价=总价÷数量）如果单价不变，商品的总价和数量的变化有什么规律呢？这节课，我们就来研究正比例。老师板书课题。二、新授1．教学例1，学习正比例的意义。⑴出示例1表格，让学生观察表中的数据，思考表中有哪两种量？总价是怎样随着数量的变化而变化的？（表中有数量和总价两种量，数量增加，总价增加；数量减少，总价减少。数量扩大到原来的几倍，总价也扩大到原来的几倍；数量缩小到原来的几分之几，总价也随着缩小到原来的几分之几。）⑵认识相关联的量。像这样，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做“相关联的量”。2．计算表中的数据，理解正比例的意义。⑴计算相应的总价与数量的比值，看看有什么规律。0.5/1=1.0/2=1.5/3=2.0/4=2.5/5=3.0/6=3.5/7=4.0/8，比值相等。⑵说一说，每一组数据的比值表示什么？（铅笔的单价）⑶让学生用公式把铅笔的总价、数量、单价之间的关系表示出来。总价/数量=单价（一定）⑷明确成正比例的量及正比例关系的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：y/x=k（一定）（老师板书）3．列举并讨论成正比例的量。⑴生活中还有哪些成正比例的量？让学生说一说。（速度一定，路程和时间成正比例；长方形的宽一定，面积和长成正比例）⑵小结：成正比例的量必须具备哪些条件？哪个条件是关键？（两种量是相关联的量；一种量变化，另一种量也随着变化；它们的比值不变，这是关键。）4．认识正比例图像。⑴课件出示例1表格及正比例图像，让学生观察统计表和图像，你发现了什么？（每一个数量和相对应的总价组成的一组数在图像上都体现为一个点，这些点连起来是一条直线；正比例图像是一条直线。）⑵把数对（10，5.0）和（12，6.0）所在的点描出来，再和上面的图像连起来并延长，你还能发现什么？让学生操作后发表自己的见解。（这两个点与上面的图像仍能连成一条直线。无论怎样延长，得到的都是直线。）⑶从正比例图像中，你知道了什么？（可以由一个量直接找到对应的另一个量；可以直观地看到成正比例的量的变化情况）⑷利用正比例图像解决问题。不计算，根据图像判断，买7只铅笔总价是多少元？20元能买多少只铅笔？（3.5元；40只）小明买的铅笔的数量是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？（在单价一定的情况下，数量和总价成正比例关系，小明买的铅笔的数量是小丽的2倍，他花的钱也应是小丽的2倍。）三、巩固应用1．P46 做一做，引导学生独立完成并汇报交流。2．P49  2．师生共同完成。3．P49  4．学生独立完成后，汇报并集体订正。四、小结：通过本节课的学习，你有什么收获？
反比例教学目标：1．理解反比例的意义，能根据反比例的意义正确判断两种量是否成反比例。2．在小组合作学习的过程中培养学生观察分析、判断推理和抽象概括的能力。3．使学生在自主探索、合作交流中体验成功的喜悦，进一步树立学习数学的自信心，同时在教学中渗透事物之间是相互联系和相互转化的辩证唯物主义观点。教学重点：理解反比例的意义。教学难点：正确判断两种量是否成反比例。教学过程：一、复习引入1．复习课件出示，一个圆柱形的水箱，底面积是0.78平方米，高是1.2米，它能装水多少立方米？学生独立解决问题，之后反馈。你是根据什么公式进行计算的？（体积=底面积×高）圆柱的体积、底面积和高之间还有怎样的数量关系呢？在什么情况下气肿的两种量成正比例？（底面积一定，体积和高成正比例；高一定，体积和底面积成正比例。）2．引入课题如果体积一定，底面积和高又成怎样的关系呢？这就是本节课我们要学习的内容。板书课题：反比例。二、新授1．在具体情境中初步感知成反比例的量。课件出示P47例2，引导学生汇报：表中有哪两种量？（有杯子的底面积和水的高度这两种量）水的高度是怎样随着杯子底面积的大小变化而变化的？（杯子的底面积增加，水的高度降低；杯子的底面积减少，水的高度升高）相对应的杯子的底面积与水的高度的乘积分别是多少？（都是300，是一定的，也就是底面积×高=体积（一定））因为水的体积一定，所以水的高度随着底面积的变化而变化。杯子的底面积增加，水的高度反而降低；杯子的底面积减少，水的高度反而升高，并且水的高度和杯子的底面积的乘积一定，我们就把水的高度和杯子的底面积叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。2．在自主学习中理解、掌握反比例的意义及关系式。让学生阅读P47内容，交流自己对反比例意义的理解。再结合教材内容，说一说反比例关系怎样用字母标示（xy=k（一定），老师结合学生回答板书，强调乘积一定）3．在对比学习中明确正比例与反比例的异同。课件出示例1和例2，比较交流：正比例与反比例有什么相同点和不同点？（相同点是都表示两种相关联的量，且一种量变化，另一种量也随着变化。不同点是正比例关系中比值一定，反比例关系中乘积一定。）4．举例，进一步深化对反比例的认识。你能举出日常生活中成反比例关系的例子吗？（路程一定，速度与时间成反比例；工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例；总价一定，单价与数量成反比例。）5．在合作探究中了解反比例图像。正比例图像是一条直线，反比例图像是什么形状呢？请同学们利用例2的数据试一试。学生小组合作，画坐标系，描点，连线。之后汇报：反比例图像是曲线。三、巩固应用：P48做一做，学生独立完成，老师巡视指导。四、小结：这节课你学到了哪些知识？还有哪些不懂的地方？正比例与反比例有什么异同点？
比例尺的认识教学目标：1．使学生理解比例尺的意义，能正确说明比例尺所表示的具体意义。2．认识数值比例尺和线段比例尺，能将线段比例尺改写成数值比例尺以及将数值比例尺改写成线段比例尺。3．能根据实际距离和图上距离求出一幅图的比例尺。4．使学生经历比例尺的产生过程，培养学生用比例尺的知识解决实际问题的能力。5．结合具体情境，使学生体验到数学与生活的密切联系，进一步激发学生学习数学的兴趣。教学重点：理解比例尺的意义。教学难点：利用比例尺的知识解决实际问题。教学过程：一、激趣导入1．出示纸面和中国地图同样大小的北京地图，观察并交流这两幅地图有什么不同？（名称不同，一个是中国地图，一个是北京地图；比例尺不同）同样大小的纸面，为什么一张能表示出整个中国，而另一张只表示出一个城市？（作图时，选定的比例尺不同）2．导入：什么是比例尺？它是比还是尺？这节课我们就来研究它。老师板书课题。二、新授1．学生自学P53例1上面的内容，了解比例尺的意义。课件出示自学提纲，之后讨论交流。明确：⑴什么叫做比例尺？⑵比例尺产生的原因是什么？（有时按照实际尺寸无法绘制平面图，这就产生了把实际距离按一定的比缩小（或扩大）的需求，因此就产生了比例尺。）⑶比例尺有什么作用？（放大和缩小两方面作用）⑷比例尺是比还是尺？（是比，不是尺）⑸比例尺的文字表达式是什么？（图上距离：实际距离=比例尺）2．观察实物地图（一副地图的比例尺是1：00000000，另一幅地图的比例尺是0∣＿＿∣50km ,了解比例尺的两种形式。）第一个比例尺是数值比例尺，表示图上距离是实际距离的1/100000000。第二个是线段比例尺，表示图上1cm距离相当于地面上50km的实际距离。（老师引导学生理解：一小格表示图上距离1cm，0后面第一个数表示图上距离1cm代表的实际距离是多少，单位看最后那个单位。两小个表示图上距离2cm，0后面第二个数表示图上距离2cm代表的实际距离是多少，单位看最后那个单位，以此类推）3．学习把线段比例尺改写成数值比例尺的方法。你能把上面的线段比例尺改写成数值比例尺吗？先让学生独立改写，再指名板演：图上距离：实际距离=1cm:50km=1cm:5000000cm=1:5000000结合学生板演，归纳改写的方法。4．课件出示机器零件图，认识放大比例尺。⑴观察机器零件图，思考：这副图的比例尺是多少？表示什么？这幅图的比例尺与我们之前接触的比例尺有什么明显的不同？（比例尺是2：1，表示图上2cm相对于实际距离1cm，之前接触的比例尺，比的前项为1，这幅图的比例尺比的后项为1）⑵小结：在绘制比较精细的零件图时，经常需要把零件的尺寸按照一定的比放大，我们刚才学习的就是放大比例尺，放大比例尺通常后项为1。5．自学例1，知道怎样求比例尺。⑴学生独立阅读例1后思考：求比例尺需要知道哪些已知条件？求比例尺要用哪个公式？求比例尺应注意什么问题？ ⑵交流汇报，提炼方法。⑶小结：已知图上距离和实际距离，求出它们的比值就是比例尺，求比例尺之前，单位一定要统一。三、巩固应用：1．P53做一做，学生独立完成，老师巡视指导，最后指名汇报。2．P56  1．本题考查比例尺的意义和把数值比例尺改写成线段比例尺，让学生试做后再集体反馈。3．P56  3．在书上测量，学生独立计算，老师巡视指导。四、小结：通过这节课学习，你有什么收获？
比例尺的应用教学目标：1．进一步认识比例尺，能熟练地求出比例尺，图上距离和实际距离，会用比例尺的知识解决一些简单的实际问题。2．通过合作探究，运用方程解决比例尺一些实际问题，提高解决问题的能力。3．体验数学在实际生活中的应用，体会学习数学的乐趣。教学重点：能够根据给定的比例尺解决生活中的实际问题。教学难点：能够根据比例尺绘制平面图。教学过程：一、复习导入1．复习提问⑴什么是比例尺？关于比例尺你了解了哪些内容？（引导学生从对比例尺意义的认识，对数值比例尺和线段比例尺的认识等方面回答）⑵说一说下列比例尺表示的具体意义。(引导学生说一说各种比例尺的实际意义) ①比例尺1：250000②比例尺80：1③比例尺0∣＿＿∣20∣＿＿∣40km2．导入新课回顾完上节课的内容，接下来我们学习新的知识。老师板书课题：比例尺的应用。二、新授1．教学例2，根据比例尺求出实际距离或图上距离。课件出示例2，读题后审题，找出已知条件和所求问题。思考交流，如何求从苹果园站至四惠东站的实际长度？（根据比例尺的意义，设实际距离为xcm，用解比例的方法求出实际距离是多少厘米；根据比例的意义，直接用图上距离7.8米乘比例尺中的400000，求出实际距离是多少厘米。）使学生明确：为什么设的实际长度要以“cm”为单位？（因为图上距离的单位是cm，只有图上距离的单位和实际距离的单位统一了，才能计算出正确的结果。）列比例尺的依据是什么？（图上距离/实际距离=比例尺）400000表示什么？（实际距离400000cm）。 之后让学生独立用解比例的方法解决问题，再指名学生板演：解：设从苹果园站至四惠东站的实际长度是xcm。7.8/x=1/400000    x=7.8×400000    x=31200003120000cm=31.2km答：从苹果园站至四惠东站的实际长度大约是31.2千米。巩固拓展：如果在比例尺为1：400000的规划图上，地铁1号线上的某两地之间的距离是1千米，那么这两地之间的图上距离是多少？1千米=100000厘米解：设这两地之间的图上距离是xcm。x/100000=1/400000       x=100000÷400000       x=0.25答：这两地之间的图上距离为0.25cm。 2．教学例3，根据比例尺画平面图。出示例3，读题，你从题中知道了哪些信息？我们要解决哪些问题？怎样才能准确地画出平面图呢？（引导学生明确，若想画得准确，应按照题目中给定的比例尺求出三个同学家到学校的图上距离）分别求出三个同学家到学校的图上距离后，学生动手画图，老师巡视指导，之后反馈集体订正。小结概括根据比例尺画图的一般方法：⑴根据比例尺计算图上距离。⑵根据数据，画出图形。三、巩固应用：1．P55做一做，引导学生说一说绘制平面图前应做好哪些准备工作，绘图时应注意哪些问题，再完成本题。2．P57  5．学生独立完成后，交流需要注意的地方3．P57  8．填写后，说出求图上距离和实际距离的方法4．P57  9．四、小结：通过本节课的学习，你有什么收获？在应用比例尺解决问题时，你认为需要注意什么？

图形的放大与缩小教学目标：1．了解图形的放大与缩小的意义，能在方格纸上按一定的比画出放大与缩小的图形，通过图形的放大与缩小体会图形的相似。2．通过观察、理解、动手操作等数学活动，体会图形放大与缩小的方法，培养学生的空间观念和动手操作能力。3．激发学生学习数学的兴趣和求知欲，使学生积极参与学习活动，在学习的过程中体会成功的喜悦。教学重点：理解图形的各边按照相同的比放大或缩小，图形的大小变了，形状不变。教学难点：掌握把图形放大与缩小的方法。教学过程：一、导入1．观察、感受图形的放大与缩小。⑴观察、感受。出示有“图形的放大与缩小”的纸卡，提问纸卡上写的是什么？（小5号字，看不清楚）然后老师把它放在投影仪上，调整缩放键，逐渐调大，再问纸卡上写的是什么？（图形的放大与缩小）之后引导学生思考，为什么纸卡上的字之前看不清楚？而现在又看清楚了呢？（因为字被放大了）2．结合生活实际，导入新课。生活中经常会遇到图形的放大与缩小，下面就让我们一起来感受一下图形的放大与缩小。出示P59主题图，这些现象中，哪些是把物体放大？（图2、3、4）哪些是把物体缩小？（图1）。今天就让我们从数学的角度一起来探究图形的放大与缩小。老师板书课题。二、新授1．探究把图形放大的意义和方法。⑴课件出示例4，思考并交流：按2：1放大是什么意思？（要画的图形的每条边都是原来长度的2倍，要着重提示学生注意2：1是图上距离和实际距离的比，而不是图上面积和实际面积的比）⑵以正方形为例，具体画图时应该怎么做？正方形原来的边长是3个单位长度，现在按2：1放大后，边长应该是6个单位长度。学生独立画图，老师巡视指导。⑶完成例4。①怎样画长方形？把长方形的长和宽分别扩大到原来的2倍后，再画长方形。②怎样画三角形？把直角三角形的两条直角边分别扩大到原来的2倍后，连接两条直角边的端点。⑷引导学生观察放大后的图形和原图形。观察一下放大后的图形与原图形，比较它们的内角、边长、周长，什么变了？什么没变？（图形变大后，内角的大小不变，所以形状不变；图形的各边长都扩大到原来的2倍，所以周长也扩大到原来的2倍。）2．合作探究，理解图形缩小的意义和方法。如果把放大后的正方形按1：3，长方形按1：4，三角形按1：2缩小，各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画看。（引导学生明确这三个图形按相应的比缩小时，边长应该是多少，从而得出结论：图形变小，形状不变）学生动手操作，画出缩小后的图形，之后交流各自的作品。3．归纳图形放大与缩小的变化特点。放大或缩小后的图形与原图形有什么异同？图形放大或缩小后，形状相同，大小不同。三、巩固应用1．P60做一做，学生画好后，同桌交流。2．P63  1．四、小结：今天这节课，我们学习的是图形的放大与缩小，你有什么收获？
用比例解决问题教学目标：1．能使学生进一步熟练地判断成正、反比例的量，同时加深对正、反比例意义的理解。2．能利用正、反比例的意义解答比较简单的应用题，巩固和加深对所学的简易方程的认识。3．经历用比例知识解决问题的过程，体会解决问题的不同策略，培养学生的发散思维能力。4．感受数学知识与实际生活的密切联系，激发学习数学的兴趣，培养学生勤于动脑思考的习惯。教学重点：正确判断题中涉及的量是否成正、反比例关系，准确运用正、反比例的意义解决实际问题。教学难点：能够利用正、反比例的关系列出含有未知数的等式。教学过程：一、导入1．复习铺垫出示⑴一辆汽车行驶的速度不变，行驶的时间和路程。⑵一辆汽车从甲地开往乙地，行驶的速度和时间。提问：每道题中各有哪三种量？其中哪种量是不变的？哪两种量是相关联的？如何变化？成什么比例？学生讨论后回答。2．引入新课生产、生活中的一些实际问题也可以应用比例知识来解决。今天，我们就来学习用正、反比例知识解决问题。老师板书课题。二、新授1．用正比例知识解决问题。出示例5主题图，学生汇报题中的已知条件和所求问题。再指名学生完整叙述题意，根据学生的回答，课件出示例5：张大妈家上个月用了8t水，水费是28元，李奶奶家用了10t水。李奶奶家上个月的水费是多少钱？让学生讨论用什么方法解决例5的问题。算术方法：28÷8×10正比例知识解答：（用水的吨数和水费是两种相关联的量，水费与用水吨数的比值不变，可用正比例知识解答）解：设李奶奶家上个月的水费是x元。28/8=x/108x=28×10x=280/8x=35答：李奶奶家上月的水费是35元。拓展：王大爷家上个月的水费是42元，上个月用了多少吨水？解：设上个月用了xt水。28/8=42/x28x=42×8x=12答：上个月用了12吨水。2．用反比例知识解决问题。出示例6主题图，读题，让学生找出题中的已知条件和所求问题。讨论用什么方法解决例6。算术方法：100×5÷25