高中数学必修5优质课《2.2等差数列》ppt课件免费下载
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第二章 数 列
§2.2 等差数列
得到数列 1,2,3,4, … ,100
问题情景一
高斯是德国数学家,也是天文学家和物理学家,他和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大, 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称。
得到数列:
6000,6500,7000,7500,
8000,8500,9000
问题情景二
匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm)
问题情景三
,23,
,24,
25,
,26,
,26
姚明罚球个数的数列:
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
观察:以上数列有什么共同特点?
从第 2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。
高斯计算的数列:
1,2,3,4, … ,100
观察归纳
,23,
,24,
25,
,26
运动鞋尺码的数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
等差数列定义
②6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
公差d=1
公差d=500
①1,2,3,…,100;
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。
等差数列定义
数学语言:
an-an-1=d (d是常数,n≥2,n∈N*)
或an+1- an = d
( d是常数, n∈N*)
2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由。
想一想
公差是0
3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是多 少?若不是,说明理由。
不是
1、数列6,4,2,0,-2,-4…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,说明理由。
公差是-2
想一想
小结:
1、判断一个数列是不是等差数列,主要是由定义进行判断an+1-an 是不是同一个常数。
2、公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0。
练习: 已知等差数列的首项为12,公差为-5,
试写出这个数列的第2项到第5项.
解:
由于
,因此
概念强化
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列:
(1)2 ,( ) , 4 (2)-12,( ) ,0
3
-6
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。
思 考
问题情景四
观察数列:1,3,5,7,…
思 考:
在数列中a100=?我们该如何求解呢?
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有:
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有:
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
an=a1+(n-1)d
问an=?
通过观察:a2, a3,a4都可以用a1与d 表示出来;an与d的系数有什么特点?
当n=1时,上式也成立。
归纳:
等差数列的通项公式:首项为a1 ,公差为d的等差数列
{an}的通项公式:
an = a1 + (n-1)d
a1 、an、n、d知三求一
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
变形
等差数列通 项 公 式 的 归纳
例1(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
分析:
(1)由给出的等差数列前三项,先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,就可以求出第20项a20。
解:(1)由题意得:a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
例1(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是,是第几项,如果不是,说明理由。
分析:
(2)要想判断-401是否为这个数列中的项,关键是要求出通项公式,看是否存在正整数n,使得an=-401。
(2)由题意得: a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是:
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。
解:由题意可得
∴ d = 2 ,a1 =2
∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n
例2 、在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ,a18=36 ,
求通项公式an
求基本量a1和d :根据已知条件列方程,由此解出a1和d ,再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系,列出方程求解的思想方法,称方程思想。
这是数学中的常用思想方法之一。
题后点评
求通项公式的关键步骤:
例2 、在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ,a18=36 ,
求通项公式an
思考:你还能想到解决该问题的其它解法吗?
解法二:∵ a6=12 ,a18=36 ,a18=a6+(18-6)d
∴36=12+12d
∴d=2
∴ an=a6+(n-6)d
=12+(n-6) ×2
=2n
等差数列与一次函数的关系
探究:
等差数列的图象1
(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…
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等差数列的图象2
(2)数列:7,4,1,-2,…
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等差数列的图象3
(3)数列:4,4,4,4,4,4,4,…
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直线的一般形式:
等差数列的通项公式为:
等差数列的图象为相应直线上的点。
等差数列的有关性质
探究: