2．3　平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1　平面向量基本定理
第二章　 平面向量
学习导航
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_______
不共线
基底．
想一想
1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？
提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
2．两向量的夹角与垂直
非零向量
∠AOB
同向．
反向．
想一想
2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？
提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零向量的夹角没有什么实际意义．
做一做
答案：60°
题型一　对基底概念的理解
设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
【答案】　③
【名师点评】　两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．
跟踪训练
题型二　用基底表示向量
已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【名师点评】　将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
题型三　向量的夹角
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________．
【答案】　30°　60°
【名师点评】　两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三
算”的步骤求出．
跟踪训练
1．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1、e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1、λ2时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程组求解．
2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2，平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有e1、e2的代数运算．
名师解题
待定系数法求解基底表示向量问题
跟踪训练