第4课时
平面向量基本定理
1.掌握平面向量基本定理.
2.了解平面向量基本定理的意义.
3. 通过对基本定理的学习培养学生的观察、分析、
归纳、抽象的思维能力.
在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算,而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢?
平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内两个 的向量,
那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一
对实数 ,使a=λ1e1+λ2e2 .
其中,我们把不共线的向量e1、e2叫作表示这一
平面内所有向量的一组 .
问题2
不共线
基底
两向量的夹角与垂直: 已知两个非零向量a和b,
作 =a , =b, 则∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫作
向量a 与b 的　　 .
特别地,(1)当θ=　 时,a与b同向;
(2)当θ=　　 时,a与b反向;
(3)当θ= 900时,a与b垂直,记作a⊥b
夹角
00
1800
λ1，λ2
已知a , b 是不共线的两个向量,m、n∈R
m a +nb = 0,则( ).
A. a =b =0 B.m=n=0
C.m=0,b=0 D.n=0,a=0
B
设不共线向量a 和b 的长度分别为4和3,
|a +b |=5,则a 和b 的夹角为 .
900
如图,已知在梯形ABCD中AB∥DC,且AB=2CD,
E、F分别是DC、AB的中点,设 =a, =b,
试用a , b为基底表示 、 .
向量坐标表示的有关概念
已知下列命题,判断它们的真假.
(1)若a∥b,则必存在唯一的实数λ,使得b=λa
(2)若ma =na,则m =n ( m,n∈R )
(3)若e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,
则向量e1+e2,e1-e2也能作为一组基底
(4)若ae1+be2=ce1+de2(a,b,c,d∈R),则a =c,b =d
(5)在等边△ABC中, 的夹角为60°
平面向量基本定理的应用
已知 ABCD的边BC,CD上的中点分别是M,N,
且 试用 分别表示

O为平行四边形ABCD的对角线交点,
则3e2-2e1等于(　　)
B
若O是▱ABCD的两对角线的交点,下列向量组中可作为
这个平行四边形所在平面上用来表示其他所有向量的
基底的是

④
①③
①
③
②
2.若a =-e1 +3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,
则a 写成λ1b +λ2c 的形式是　　　　　
3.已知e1,e2是平面内不共线的两个向量,a =3e1-2e2,
b =-2e1+e2, c =7e1-4e2,试用a ,b 表示c
已知a、b不共线,且c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),
若c 与b 共线,则λ1等于(　　)
A.0　　 B.1　　　C.-1　　　D.1/2
A
平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对
于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数λ1，λ2,使a=λ1e1+λ2e2
不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的
一组基底
两向量的夹角与垂直: 已知两个非零向量a 和b ,作 =a ,
=b, 则∠AOB=θ(00≤θ≤1800)叫作向量a 与b 的夹角
特别地,(1)当θ=00时,a与b同向;
(2)当θ=1800时,a与b反向;
(3)当θ= 900时,a与b垂直,记作a⊥b