2．3　平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1　平面向量基本定理
第二章　 平面向量
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1.平面向量共线定理是什么？
问题提出
3.在物理中，力可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.力是一个向量，将这种力的分解拓展到向量中来，就是向量的分解.
平面向量基本定理
②这种表示是唯一的，
即
③基底不惟一，关键是不共线。
2．两向量的夹角与垂直
非零向量
∠AOB
同向．
反向．
想一想
2.零向量与任一非零向量的夹角有意义吗？
提示：由于零向量的方向不定(或任意)，零向量与任意非零向量的夹角没有什么实际意义．
做一做
答案：60°
思路：考虑向量所在的三角形或平行四边形，或共线，
用加法或减法或数乘表示出向量的线性关系。
师OM，生ON，MN
变式：已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，
b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【名师点评】　将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
方程思想的应用
题型三　向量的夹角
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________．
【答案】　30°　60°
【名师点评】　两向量夹角的实质和求解
(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．
(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三
算”的步骤求出．
练习
1．平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1、e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1、λ2时有两种方法：一是直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1、λ2的唯一性列方程组求解．
2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1、e2，平面上的任何一个向量a都可以用e1、e2唯一表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有e1、e2的代数运算．
名师解题
待定系数法求解基底表示向量问题
交点——两组三点共线——方程组
作业