2.3　平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
平 面 向 量
1．准确理解平面向量的基本定理．
2．理解能成为向量基底的条件是不共线．
3．理解向量的夹角前提条件是共起点．
4．理解平面向量的正交分解．
基础梳理
一、平面向量的基本定理
1．如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使_________________．
2．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．
练习1：已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填共线或不共线)．
练习2：已知a、b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.
0
不共线
a ＝ λ1e1＋λ2e2
基底
不共线　 不共线
思考应用
1．平面内的基底是否是唯一的？
解析：平面内的基底可以有无数多个，只要两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底．
二、向量的夹角
1．不共线向量的夹角
显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a，b，作 则__________ 叫做向量a与b的夹角．
如果∠AOB＝θ，则θ的取值范围是__________．
2．共线向量的夹角
当__________时，表示a与b同向；
当__________时，表示a与b反向．
3．垂直向量
如果__________________就称a与b垂直，记作a⊥b.
a与b的夹角是90°
∠AOB＝θ
[0°,180°]
θ＝0°
θ＝180°
思考应用
自测自评
1．下面四种说法中，正确的是(　 　)
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④　　　　　　　　　B．②③④
C．①③ D．①③④
B
2．设O是平行四边形ABCD的两对角线的交点，下列向量组： 其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是(　　 )
A．①②　　　 B．①③　　　
C．①④　　　 D．③④
B
3．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则(　 　)
4．已知a，b是两个不共线的向量，m，n∈R 且ma＋nb＝0，则(　 　)
A．a＝0且n＝0 B．m，n的值不确定
C．m＝n＝0 D．m，n不存在
B
C
设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底， a ＝λ1e1＋e2，b＝4 e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是(　　)
A.λ1＝1 B.λ1＝2
C.λ1＝3 D.λ1＝4
向量共线问题
解析：a，b共线，则存在实数k，使得a＝kb即可求解．但作为选择题，看到a ＝λ1e1＋e2中e2的系数为1，而b＝4 e1＋2e2中e2的系数为2，所以λ1＝2.
答案：B
点评：若两个向量共线，则作为基底的两个向量相应系数成比例．
1．设 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3a－3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是(　　)
A．A、B、C B．A、C、D
C．A、B、D D．B、C、D
跟踪训练
用基底表示向量
已知AD是△ABC的BC边上的中线，
跟踪训练
2．如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若 ＝a， ＝b，则 ＝________， ＝____________ (用a、b表示)．
如图，平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知 ＝a， ＝b，试用a，b表示 和 .
点评：本题若利用向量的加减法法则，结合M、N为DC、BC中点的性质，可直接用a、b表示 和 ，但有一定的困难，解题过程繁琐．所以就可以根据“正难则反”的思想求解，即改为用 、 来表示向量a、b，然后将 、 看做未知量，加以方程思想，求得 、 ，就容易多了．
跟踪训练
向量共线的其它表达形式
跟踪训练
2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝_____________，e2＝_______________.
e1＝3a－4b　 e2＝－2a＋3b
A
1．任一平面的直线型图形，根据平面向量的基本定理，都可以表示成某些向量的线性组合，这样要解答几何问题时，就可以把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
2．在解具体问题时，要适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量e1，e2，平面上的任何一个向量a都可以用e1，e2唯一表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这样的几何问题转化为代数问题，转化为只含有基底的代数运算.
祝
您
学业有成