植树问题

本教程共30讲
第10讲 植树问题
　　绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。
　　先介绍四类最简单、最基本的植树问题。
　　为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
　　显然，只有下面四种情形：
　　(1)非封闭线的两端都有“点”时，
　　“点数”＝“段数”＋1。


　　(2)非封闭线只有一端有“点”时，
　　“点数”=“段数”。


　　(3)非封闭线的两端都没有“点”时，
　　“点数”＝“段数”-1。


　　(4)封闭线上，“点数”=“段数”。


　　最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。
　　例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。
　　又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。
　　再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。
　　再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。
　　许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。
例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？
解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。这段路长为50×(10-1)＝450(米)。
　　答：这段路长450米。
例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？
　　分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需
　　25×6＝150(秒)。
解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。
　　答：还需150秒。
例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？
解：车队间隔共有
　　30-1＝29(个)，
　　每个间隔5米，所以，间隔的总长为
　　(30-1)×5＝145(米)，
　　而车身的总长为30×4＝120(米)，故这列车队的总长为
　　(30-1)×5+30×4＝265(米)。
　　由于车队要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要
　　(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。
　　答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。
例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？


解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为
　　6×(5-1)＝24(毫米)，
　　又4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长
　　40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。
　　同理，十个铁环连在一起的长度为
　　40×10-6×(10-1)=346(毫米)。
　　答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。
例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。
解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为
　　300÷2＝150(个)，
　　父亲踏过的台阶数为300÷3＝100(个)。
　　由于2×3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷6＝50(个)。所以父子俩共踏了台阶
　　150＋100-50＝200(个)。
　　答：父子俩共踏了200个台阶。
 练习10
　　1.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。
　　(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？
　　(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？
　　(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？
　　2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？
　　3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？
　　4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？
　　5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？
　　6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？
　　7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？
　
答案与提示练习10
　　1.(1)21棵；(2)19棵；(3)20棵。
　　2.132棵。
解： (100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)，
　　264÷2＝132(棵)。
　　3.9次。
　　4.360米。
　　5.34米80厘米。
解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480厘米)。
　　6.200个；100个。
解：原有坑1200÷6＋1=201(个)，
　　现有坑1200÷4＋1=301(个)，
　　其中重复而不需要新挖的坑有1200÷12＋1=101(个)，需要新挖的坑有301－101=200(个)，需要填上的坑有201-101=100(个)。
　　7.20辆。
解：车队长5×100-210=290(米)，
　　共有车(290-5)÷(5＋10)＋1=20(辆)。