数与形
教学内容： 课本107页例1及相关练习。
教学目标：1、引导学生探索数与形之间的联系，帮助学生寻找规律、发现规律、运用规律解决问题。
2、运用数形结合的数学思想方法，让学生经历猜想与验证的过程，培养学生积极探究，大胆猜想验证，灵活运用知识的能力。
3、通过数形结合的直观，体会数形结合的思想，感受数学的魅力，培养学生用于探索的精神。
教学重点： 培养学生数形结合解决问题的意识；探索数形之间的联系并发现规律。
教学难点： 探索、验证的过程；学习方法的形成。
教学用具： 各种颜色的小正方形、彩笔、小黑板、多媒体课件。
教学设计：
著名的数学家华罗庚就曾经说过：“数形结合百般好”（课件出示）
好在哪呢，今天这节课我们一起来学习数与形，体会数形结合给我们带来哪些“好”。
一、情境导入
国庆节就要到了，在泉城广场要建造一个雕塑来迎国庆，课件出示造型并抽象出下图：



二、探索新知
1、引导发现加数规律
师：要完成这个雕塑，一共需要多少盆花？我们分层来看一下
课件演示：


处理方式：问题串
一共多少盆？ （1盆、4盆……）用一个算式怎样表示？ （1、1+3、1+3+5……）
师：猜一猜下一层是多少盆？（7、9、11……）怎么猜的这么准啊，能说说你的理由吗？
生：连续奇数
生：后一个加数比前一个加数多2
……
师：以1为开始的等差数列。
2、提出探究问题
师：如果空间足够大，一直摆下去，当 n层时一共需要多少盆呢？用一个算式怎样表示？



1+3+5+7+9+……=

n
（学生预设的算式板书）
师：还能算出它的结果吗？要求n层一共多少盆有点难，我们可以怎么办？你有什么想法吗？
学生：把数变小研究，看看能不能找到规律？
学生：把加数的个数变少，找找规律。
……
师：思路真清晰，会学习。我们就这样，以1+3+5这个算式为例，摆一摆，画一画，看能不能找到规律，解决n层共有多少盆的问题。
3、学生活动探究1+3+5
4、全班交流1+3+5
处理方式：学生讲解，图贴到黑板上，旁边列式，数形结合着讲解。
预设1：


生：1+3+5=3×3=9
引导小结：这个小组的同学用学具拼出了一个正方形来帮助我们探究1+3+5的计算，你能领着大家情景回放一下你们的思考过程吗？
加数1在哪？3在哪？5呢？所以结论是什么？（1+3+5=3×3=9）
师：看明白了吗？为什么1+3+5=3×3。（学生指着图形说）
生：正方形的边长相等，每条边都有3个正方形，所以1+3+5=3×3
师：用正方形来探究1+3+5非常的直观，1+3+5=3×3，两个因数相同可以写成3²。
如果有预设3则下面环节不要：
可惜美中不足啊，如果在图形中不把加数5拆开就更好了，能不能试一试：既能拼成正方形还能让各个加数在一起？
学生尝试并交流

课件出示：


师：1+3+5=3×3两个相同的数字相乘可以写成3²，1+3+5=3×3=3²，3²是一个平方数也叫正方形数。
预设2：



从左往右看 1+3+5=1+2+3+2+1=……=9
……
预设3：


生：1+3+5=3×3=9
这个小组的同学用学具拼出了一个正方形来帮助我们探究1+3+5的计算，你能领着大家情景回放一下你们的思考过程吗？





加数1在哪？3在哪？5呢？所以结论是什么？（1+3+5=3×3=9）
师：看明白了吗？为什么1+3+5=3×3。（学生指着图形说）
师：对比一下，与预设1中同学的方法相比，这个更清晰。

小结：在刚才的交流中，同学们借助了手中的学具，通过不同的拼摆方法，让1+3+5这样一个算式与图形联系在一起，直观的展现出了原来1+3+5还可以写成3²，太棒了。那么以1开始的连续奇数相加是不是都能写成平方数的形式？我们一起来试一试。
5、归纳以1开始连续奇数相加的规律
处理方式：前两组老师仿照1+3+5规范的在黑板上贴，数形结合着讲，给学生一个模式，后面的学生自己动手贴，尝试自己学着问。
谁的平方？


加数的个数是几？（2）正方形的边长是几？（2）1+3=（）²


加数的个数是几？（4）正方形的边长是几？（4）1+3+5+7=（）²


加数的个数是几？（5）正方形的边长是几？（5）1+3+5+7+9=（）²


师：通过刚才的操作，你能得出什么规律？
引导学生归纳：从1开始，几个连续奇数相加，和即是几的平方。（板书结论）
……
师：n层一共多少盆？这个问题解决了吗？多少个连续奇数相加？（ n个）
生：1+2+3+4+5+6+7+8+9+……=n²

n
完善板书n²
师：这里还有一个组的板书，我们来看看他们是怎么想的。





生：


1+3+5
=(1+5)×3÷2
=6×3÷2
=9
引导小结：这个组的同学也不简单，借助学具把1+3+5与一个长方形联系起来，并发现了1+3+5=(1+5)×3÷2=6×3÷2=9，9也就是（ ）²。
那么大家知道 n层有多少个小正方形吗？（2n-1）
1+2+3+4+5+6+7+8+9+……+2n-1=（1+2n-1）×n÷2=2n×n÷2=n²也得出了同样的结论。

师：（手指黑板）我们是怎么解决n层一共多少盆这个问题的？
生：数形结合。
……
师：我们用数形结合的方法，解决了n层一共多少盆的问题。知道了从1开始，几个连续奇数相加，和即是几的平方。你们说数形结合好不好？好在哪啊，说说你的感受？
生：方便、直观、简单……
三、分层练习
1、基本练习
①1+3+5+7+9+11+13 =（ ）²
方式：口答
② =9²
方式：写一写再交流，再出图验证。
问：你是怎么想的？（9²所以有9个加数）
小结：借助图形，很清晰的看出9²有9个加数。
2、变式练习
① 课件出示图,这个能不能写成平方数的形式？为什么？
方式：如果意见不统一，引导学生辩论下。如果都统一问问能写成平方数的理由。
小结:形状变了但是实质没变，都是以1为开始的连续奇数相加，所以可以写成平方数的形式。
②1+3+5+7+5+3+1=
方式：写一写
问：你是怎样想的？
（拆成两部分，1+3+5+7+5+3+1=（1+3+5+7）+（5+3+1）=4²+3²
小结：借助平方数，这道题解决起来就轻松了。
3、提升练习
下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？




预设：
生：3²-1 =8 5²-3²=16 7²-5²=24
……
照这样的规律，第5个图形最外圈有多少个小正方形？
方式：独立思考，小组交流后汇报。
生1：11²-9²=40
生2: 8×5=40
……
小结：借助平方数，这道图形题解决的很轻松了。
四、全课总结
今天这节课我们运用数与形的结合，发现了很多的规律，体会了解决问题中数与形结合的好，你对数与形结合有什么收获吗？
引导学生联想学过的知识说一说，如：利用图形理解分数乘法的算理……
不光这一节课的学习，数学学习中经常运用数形结合，把复杂的问题简单化、把抽象的问题直观化，这就是数形结合的好处。



五、板书设计
数与形
形 数

结合