3.3.2　均匀随机数的产生
学习目标
理解均匀随机数的概念，了解均匀随机数的产生过程.

课堂互动讲练
知能优化训练
3.3.2

均
匀
随
机
数
的
产
生
课前自主学案
课前自主学案
1．用________随机数模拟古典概型的概率．
2．几何概型中，事件A发生的概率只与A的图形的___________有关，而与A的位置和形状无关．
整数值
几何变量
1．均匀随机数
设试验结果x是区间[a，b]上的任何一个实数，并且出现任何一个实数是________的．这样，我们就称x服从___________________，x为[a，b]上的均匀随机数．
2．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]上的均匀随机数是________的．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“____________”．
等可能
[a，b]上的均匀分布
等可能
rand( )
如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD四边中点，将均匀的粒子撒在正方形中，则粒子落在下列四个图中的阴影部分区域的概率分别是P1，P2，P3，P4，则P1，P2，P3，P4的大小关系是________．
提示：P1＝P4课堂互动讲练
求有关长度、角度、弧长等的几何概型，用计算器或计算机产生一个变量在[a，b]上的均匀随机数，计算其频率，从而可估计概率．
取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
【思路点拨】　在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0,5]内的任意数，并且每一个实数都是等可能的被取到．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,5]上的均匀随机数，其中取得[2,3]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[2,3]内，也就是表示剪得两段长都不小于2 m．这样取得的[2,3]内的随机数个数与[0,5]内的个数之比就是事件A发生的概率近似值．
【解】　设剪得两段的长都不小于2 m为事件A.
法一：步骤是：
(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND.
(2)作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0,5]上的均匀随机数．
(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m.
【思维总结】　用均匀随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法一用计算机产生随机数，法二是用转盘产生随机数．
变式训练1　取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
解：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND.
(2)经过伸缩变换，a＝a1*3.
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N.
(4)计算频率 即为概率P(A)的近似值.
把二维型的图形放在一个确定的坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率．
在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板，上面画了一个以正方形的中心为圆心的圆，半径为6 cm，某人站在3 m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：投在圆内的概率是多少？
【思路点拨】　要表示平面图形内的点必须有两个坐标，我们可以产生两组均匀随机数来表示点的坐标，确定点的位置．
【解】　设事件A＝{投在圆内}．
(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数：a1＝RAND，b1＝RAND.
（2）经过伸缩和平移变换：a=a1*16-8,
b=b1*16-8,得到两组［-8,8］上的均匀随机数（3）统计投在圆内的次数N1 （即满足a2+b2<36的点（a,b）数）.
计算频率： ,即为概率P(A)的近似值.
【思维总结】　解决此题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的横、纵坐标，从而确定点的位置．
板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？
用模拟试验法计算不规则图形的面积，实质上就是利用模拟法估计二维型几何概率的一个延伸性的应用，它相当于给定概率求面积的问题．
利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．
【思路点拨】　可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计．
【解】　(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，
a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换a＝a 1* 4-3，
b＝b 1* 3得到一组[1,3],一组[1,3]上的均匀随机数。
(3) 统计实验次数N和落在阴影部分的点的个数N1（满足条件b<2-2a-a2的点（a，b）的个数）
(4)计算频率计 就是点落在阴影部分的概率的近似值．
【思维总结】　本题在解答过程中易犯如下错误：认为阴影部分的点满足条件b>2－2a－a2，导致错误的原因是没有验证而直接给出．
1．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．(如例1)
2．对面积型的几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组均匀随机数是不能确定点的位置的，故解决此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，再根据点的个数比来求概率．(如例2)
失误防范
利用均匀随机数进行模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机数模拟试验结果的概率模型，可从以下几个方面考虑：
1．由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度型、角度型(一维)只用一组，面积型(二维)需要用两组．
2．由所有基本事件总体(基本事件空间)对应区域确定产生随机数的范围．
3．由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．