2.3.2 两个变量的线性相关
例1：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
（1）将上表中的数据制成散点图.
（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?
（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线性关系.
（1）画出散点图：
（2）从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化时，杯数的值由大到小. 所以温度与杯数成负相关.
图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。
（3）根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。
如可以连接最左侧和最右侧的点，或者让画出的直线上方的点和下方的点的数目相同。
由图可见，所有数据的点都分布在一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系。
换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点。记此直线方程是
上式叫做Y对于x的回归直线方程，
b叫做回归系数。
要确定回归直线方程，只要确定a与b.
回归直线的方程 的求法：
可见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度。故采用n个偏差的平方和
表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.
记
(∑为连加符号)
上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时a、b的值.
这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫做二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做“最小二乘法”。
用最小二乘法求回归直线方程中a，b有下面的公式：
其中
同样a，b的上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值。
例2. 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求Y对x的回归直线方程；
（3）试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是多少？
解：（1）散点图如下
（2）根据公式求腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程。
（3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间为100s时，
即腐蚀深度约为38.86μm.
练习题
1．下列说法正确的是（ ）
（A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的两个变量
（B）正四面体的体积与其棱长具有相关关系
（C）电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
（D）传染病医院感染“非典”的医务人员数与医院收治的“非典”病人数是具有相关关系的两个变量
D
2. 有关线性回归的说法，不正确的是( )
A. 相关关系的两个变量不是因果关系
B. 散点图能直观地反映数据的相关程度
C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D. 任一组数据都有回归方程
D
3.下面哪些变量是相关关系( )
A.出租车费与行驶的里程
B.房屋面积与房屋价格
C.身高与体重
D.铁的大小与质量
C
4. 回归方程y=1.5x－15，则( )
A. y=1.5 x－15
B. 15是回归系数a
C. 1.5是回归系数a
D. x=10时，y=0
^
A
5.线性回归方程y=bx+a过定点________.
^
7.下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？
由散点图看出，求回归直线方程无实际意义。
8.某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：
（1）求回归方程；
（2）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.
解：（1）画散点图并求回归方程
（2）当x=5时, y=30.3676≈30.37。