2.3 变量间的相关关系
?思考:
在学校里,老师经常对学生说”如果你的数学成绩好,那么你的物理成绩就没有什么大问题.”
按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一定的相关关系.这种说法有根据吗?
探究下面变量间的关系:
1.球的体积与该球的半径;
2.粮食的产量与施肥量;
3.小麦的亩产量与光照;
4.角α与它的正切值
1、两个变量之间的相关关系
两个变量间存在着某种关系，带有不确定性(随机性），不能用函数关系精确地表达出来，我们说这两个变量具有相关关系.
相关关系—当自变量取值一定,因变量的
取值带有一定的随机性（ 非确定性关系)
函数关系---函数关系指的是自变量和因变量之间的关系是相互唯一确定的.
注：相关关系和函数关系的异同点
相同点：两者均是指两个变量间的关系
不同点：函数关系是一种确定关系，
相关关系是一种非确定的关系。
对相关关系的理解
1：下列两变量中具有相关关系的是（ ）
A角度和它的余弦值 B正方形的边长和面积
C成人的身高和视力 D 身高和体重
D
练习：
那么，该如何判断两个变量是否
具有相关关系呢？
？思考：
探究：
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究
中，研究人员获得了一组样本数据：
人体的脂肪百分比和年龄如下：
如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄
之间有怎样的关系吗？
从上表发现，对某个人不一定有此规律，但对很多个体放在一 起，就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加”这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图、表，对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，
称该图为散点图。
如图：
55
脂肪含量
10
15
20
25
30
函数：利用图像直观地研究函数是一种有效的方法。
类比：
散点图
3).如果所有的样本点都落在某一直线附近，
变量之间就有线性相关关系 .
1).如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．
2).如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,
变量之间就有相关关系。
说明
散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系.
.
相关关系的判断
例1：5个学生的数学和
物理成绩如下表：
画出散点图，并判断它们是否有相关关系。
解：
由散点图可见，两者之间具有相关关系。
例２.已知两个变量x和y具有线性相关关系,且5次试验的观测数据如下:
作出散点图
从刚才的散点图发现：
（１）高原含氧量与海拔高度
的相关关系，海平面以上，
海拔高度越高，含氧量越少。
（２）汽车的载重和汽
车每消耗1升汽油所行使的
平均路程，
作出散点图如右图所示：发现，
它们散布在从左上角到右
下角的区域内。
称它们成负相关.
O
年龄越大体内脂肪含量越高
点散布在从左下角
到右上角的区域
但有的两个变量的相关不是如此，如：
称它们成
正相关。
数学成绩高的物理成绩也高
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。
那么，我们该怎样来求出这个回归方程？
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。
（一）如何具体的求出这个回归方程呢？
回归直线
实际上,求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点到此直线的距离最小”.
练习
1 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x与相应的生产能耗y的几组对照数据:
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程
2某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得：
则y与x的回归方程为