2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1．下面四个命题，其中真命题的个数是(
)
B
①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的
两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于
同一直线的两条直线平行．
B．3 个

D．1 个
A．2 个

C．4 个
解析：②、③、④正确．
2．下列命题(a、b 表示直线，α表示平面)中的真命题是(
)
A
3．下列命题中，假命题是(
)
D
A．过一点有一个平面与已知直线垂直

B．过一点至多只有一个平面与已知直线垂直

C．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直

D．过一点可能有两个平面与已知直线垂直
4．直线 l 和平面α内无数条直线垂直，则(
)
D
A．l 和α相互平行

B．l 和α相互垂直

C．l 在α内

D．不确定
解析：直线 l 和平面α内无数条直线垂直，可能是 l∥α，
l ⊂α，或 l 和α相交(也可能垂直)，即 l 和α的位置关系不确定．
重点
线面垂直的判定
1．判定直线和平面是否垂直，通常有三种方法：

(1)定义法：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，

则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α.l－平面α的垂线，α

－直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足(线线垂直→线

面垂直)；

(2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条

直线与该平面垂直．用符号语言表示为：若 l⊥m，l⊥n，m∩n

＝B，m⊂α，n⊂α，则 l⊥α；

(3)若两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直

于这个平面．
2．根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂

直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂

直．要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化．

3．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一

点有且只有一个平面与已知直线垂直．
难点
直线与平面所成的角
斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和

它在平面内的射影的夹角．求直线和平面所成的角，一般先定

斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简

述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”．

通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和

斜足是产生线面角的关键．
线面垂直判定定理的应用
例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，AB＝AC，DB

＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC⊥平面 AED.
图 1
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，

∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
(1)
(2)
图2
A．SG⊥平面 EFG
C．GF⊥平面 SEF
B．SD⊥平面 EFG
D．GD⊥平面 SEF
解析：在题图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在题图(2)中，

SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面 EFG.
A
1－2.如图 3，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD，AC
⊥CD，E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外)，证明：CD⊥AE.
图 3
直线与平面所成的角
例2：如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求 A1B 与平
面 A1B1CD 所成的角．
图 4
求直线和平面所成的角时，应注意的问题
是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，

常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②

证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角

形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
图 5
2－1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2，

AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )
A
答案：D
图 22
证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面，
BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC，

∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，

又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC，
又 AE⊂平面 PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，∴AE⊥平面 PBC.
线面垂直判定定理的应用

例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为⊙O 直径，

C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，

求证：AE⊥平面 PBC.


图 6
3－1.PA 是垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上
)
B
异于 A、B 的任一点，则下列关系不正确的是(

A．PA ⊥BC
B．AC⊥PB

C．BC⊥平面 PAC
D．PC⊥BC
图 7
错因剖析：没有正确使用线面垂直的判定定理．
4－1.P 为△ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的
射影．
(1)若 PA ＝PB＝PC，则 O 是△ABC 的_____；
(2)若 PA ⊥BC，PB⊥AC，则 O 是△ABC 的_____；
(3)若 P 到△ABC 三边的距离相等，且 O 在△ABC 内部，则
O 是△ABC 的______；
(4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是△ABC 的_____．
外心
垂心
内心
垂心
(3)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF，
则 PD＝PE＝PF.
∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影
分别是 OD、OE、OF.
∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴O是△ ABC 的内心，故填内心．
∵PO⊥平面 ABC，
∴OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影．
又∵PA ⊥PB，PA ⊥PC，

∴PA ⊥平面 PBC.
又∵BC⊂平面 PBC，

∴PA ⊥BC.∴OA⊥BC.
同理可证 OB⊥AC.
∴O是△ ABC 的垂心．故填垂心．
(4)如图 26，
图 26